Determine, em cada item, uma base de que contém .
e

Passo 1

O enunciado pede para estender o conjunto
S = (1,2,0),,(0,1,-1)
em R^3 até obter uma base de R^3. O conteúdo é “extensão de conjunto linearmente independente a uma base”. Para resolver, vamos (i) verificar que S é l.i. e (ii) escolher um vetor fora do espaço gerado por S para completar a base.

Passo 2

Para ver que
Isso dá o sistema
Da primeira equação . Logo , isto é, é l.i.

Passo 3

Escolhemos um vetor que não esteja em SpanS. Por exemplo,
v3 = (0,0,1)
Para ver que v3notinSpanS, note que não existem alpha,beta tais que
alpha,(1,2,0)+beta,(0,1,-1)=(0,0,1),
pois a terceira coordenada daria -beta=1 e as duas primeiras dariam alpha=0 e 2alpha+beta=0, incompatível com -beta=1.

Passo 4

Como (1,2,0),(0,1,-1) é l.i. e v3notinSpanS, o conjunto
(1,2,0),,(0,1,-1),,(0,0,1)
tem três vetores l.i. em R^3, logo é uma base de R^3 que contém S.

Resposta

Uma possível base de R^3 contendo S é
l(1,2,0),,(0,1,-1),,(0,0,1)r

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