Determine, em cada item, uma base de que contém . e
Passo 1
O enunciado pede para estender o conjunto
em até obter uma base de . O conteúdo é “extensão de conjunto linearmente independente a uma base”. Para resolver, vamos (i) verificar que é l.i. e (ii) escolher um vetor fora do espaço gerado por para completar a base.
Passo 2
Para ver que
Isso dá o sistema
Da primeira equação . Logo , isto é, é l.i.
Passo 3
Escolhemos um vetor que não esteja em SpanS. Por exemplo,
v3 = (0,0,1)
Para ver que v3notinSpanS, note que não existem alpha,beta tais que
alpha,(1,2,0)+beta,(0,1,-1)=(0,0,1),
pois a terceira coordenada daria -beta=1 e as duas primeiras dariam alpha=0 e 2alpha+beta=0, incompatível com -beta=1.
Passo 4
Como (1,2,0),(0,1,-1) é l.i. e v3notinSpanS, o conjunto
(1,2,0),,(0,1,-1),,(0,0,1)
tem três vetores l.i. em R^3, logo é uma base de R^3 que contém S.