Em cada item, determine e classifique os pontos críticos da função f.
f(x, y)=9-2 x+4 y-x^{2}-4 y^{2}.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y)=9 - 2x + 4y - x^2 - 4y^2
e pede para encontrar os pontos críticos (onde as derivadas parciais se anulam) e classificá-los (mínimo, máximo ou sela). Para isso vamos precisar calcular as derivadas parciais de primeira ordem, igualá-las a zero para achar o ponto crítico e depois usar a matriz Hessiana para verificar a natureza desse ponto.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de primeira ordem:
\frac{\partial f}{\partial x} = -2 - 2x, \qquad \frac{\partial f}{\partial y} = 4 - 8y.

Passo 3

Igualamos as derivadas a zero para achar o(s) ponto(s) crítico(s):
-2 - 2x = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = -1,
4 - 8y = 0 \quad\Longrightarrow\quad y = \tfrac12.
Logo há um único ponto crítico em \bigl(-1,\tfrac12\bigr).

Passo 4

Agora montamos a matriz Hessiana, cujos elementos são
f_{xx} = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = -2, \quad f_{yy} = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = -8, \quad f_{xy} = \frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y} = 0.
A Hessiana é
H = \begin{pmatrix} -2 & 0\\\\ 0 & -8 \end{pmatrix}.
O determinante vale
\det H = (-2)\cdot(-8) - 0 = 16 > 0,
e f_{xx} = -2 < 0. Como o determinante é positivo e f_{xx}<0, concluímos que \bigl(-1,\tfrac12\bigr) é ponto de máximo.

Passo 5

Podemos ainda calcular o valor de f nesse ponto para caracterizar o máximo global (tratando-se de uma forma quadrática côncava):
f\bigl(-1,\tfrac12\bigr) = 9 - 2(-1) + 4\bigl(\tfrac12\bigr) -(-1)^2 - 4\bigl(\tfrac12\bigr)^2 = 9 + 2 + 2 - 1 - 1 = 11.

Resposta

O único ponto crítico é \bigl(-1,\tfrac12\bigr), que é ponto de máximo (local e global) de valor f(-1,\tfrac12)=11.

Exercícios relacionados