Em cada item, determine e classifique os pontos críticos da função f.
f(x, y)=\operatorname{sen} x \operatorname{sen} y.

Passo 1

O enunciado pede para achar e classificar os pontos críticos da função
f(x,y)=\sin x\;\sin y,
ou seja, encontrar onde o gradiente de f é nulo e, em seguida, usar o Hessiano para dizer se cada ponto é mínimo, máximo ou ponto de sela.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais e montamos o sistema gradiente igual a zero:
f_x=\frac{\partial f}{\partial x}=\cos x\;\sin y,\quad f_y=\frac{\partial f}{\partial y}=\sin x\;\cos y.
A condição \nabla f=(0,0)
\cos x\;\sin y=0, \quad \sin x\;\cos y=0.

Passo 3

Cada equação é produto igual a zero, então temos duas famílias de soluções:
1. \sin y=0 e \sin x=0, ou seja
x=k\pi,\quad y=m\pi,\quad k,m\in\mathbb{Z}.
2. \cos x=0 e \cos y=0, ou seja
x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\quad y=\frac{\pi}{2}+m\pi,\quad k,m\in\mathbb{Z}.

Passo 4

Para classificar, calculamos as segundas derivadas:
f_{xx}=-\sin x\;\sin y, \quad f_{yy}=-\sin x\;\sin y, \quad f_{xy}=\cos x\;\cos y.
No ponto (k\pi,m\pi) temos \sin x=\sin y=0, logo
f_{xx}=f_{yy}=0, \quad f_{xy}=\cos(k\pi)\cos(m\pi)=(-1)^{\,k+m}.
O Hessiano vale
H = \begin{pmatrix}0 & (-1)^{k+m}\\[6pt](-1)^{k+m}&0\end{pmatrix},
cujos autovalores são \pm1, indicando sempre ponto de sela.
No ponto \bigl(\tfrac{\pi}{2}+k\pi,\tfrac{\pi}{2}+m\pi\bigr) temos
\sin x=(-1)^k, \sin y=(-1)^m e \cos x=\cos y=0. Logo
f_{xx}=f_{yy}=-(-1)^{\,k+m}=(-1)^{\,k+m+1}, \quad f_{xy}=0,
e o Hessiano é diagonal com valores iguais a (-1)^{k+m+1}.]

Passo 5

No primeiro grupo \bigl(x=k\pi,y=m\pi\bigr) o Hessiano tem sinais opostos ( \pm1), logo são todos pontos de sela.
No segundo grupo \bigl(x=\tfrac{\pi}{2}+k\pi,\;y=\tfrac{\pi}{2}+m\pi\bigr):
  • Se (-1)^{k+m+1}=+1, o Hessiano é definido positivo \to ponto mínimo.
  • Se (-1)^{k+m+1}=-1, o Hessiano é definido negativo \to ponto máximo.
Como (-1)^{k+m+1}=+1 quando k+m é ímpar, e -1 quando k+m é par, concluímos:
\begin{cases} \text{máximo local se }k+m\text{ é par},\\\ \text{mínimo local se }k+m\text{ é ímpar}. \end{cases}áéíéí

Resposta

Pontos críticos e classificação:
(a) x=k\pi,\\ y=m\pi \bigl(k,m\in\mathbb{Z}\bigr): ponto de sela.
(b) x=\tfrac{\pi}{2}+k\pi,\\ y=\tfrac{\pi}{2}+m\pi \bigl(k,m\in\mathbb{Z}\bigr):
\quad máximo local se k+m é par;
\quad mínimo local se k+m é ímpar.

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