Em cada item, determine e classifique os pontos críticos da função
.
.
Passo 1
O enunciado pede para achar e classificar os pontos críticos da função
ou seja, encontrar onde o gradiente de
é nulo e, em seguida, usar o Hessiano para dizer se cada ponto é mínimo, máximo ou ponto de sela.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais e montamos o sistema gradiente igual a zero:
A condição
dá
Passo 3
Cada equação é produto igual a zero, então temos duas famílias de soluções:
.
e
, ou seja
Passo 4
Para classificar, calculamos as segundas derivadas:
No ponto
temos
, logo
O Hessiano vale
cujos autovalores são
, indicando sempre ponto de sela.
No ponto
temos
,
e
. Logo
e o Hessiano é diagonal com valores iguais a
.]
Passo 5
No primeiro grupo
o Hessiano tem sinais opostos (
), logo são todos pontos de sela.
No segundo grupo
:
- Se
, o Hessiano é definido positivo ponto mínimo. - Se
, o Hessiano é definido negativo ponto máximo.
Como
quando
é ímpar, e
quando
é par, concluímos:
Resposta
Pontos críticos e classificação:
(a)
: ponto de sela.
(b)
:
máximo local se
é par;
mínimo local se
é ímpar.