Em cada item, determine o máximo e o mínimo absolutos da função f na região R. Sugestão. Estas funções já apareceram no exercício C1.
f(x, y)=x^{4}+y^{4}-4 x y+2, R=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid 0 \leq x \leq 3\right. e \left.0 \leq y \leq 2\right\}.

Passo 1

O enunciado pede os extremos absolutos de
f(x,y)=x^{4}+y^{4}-4xy+2
na região fechada
R=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid 0\le x\le3,\;0\le y\le2\}.
Vamos usar o Teorema de Weierstrass: buscar pontos críticos interiores (onde \nabla f=0) e depois examinar todas as fronteiras do retângulo.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
f_x=4x^3-4y=0\quad\Longrightarrow\quad y=x^3,
f_y=4y^3-4x=0\quad\Longrightarrow\quad x=y^3.
Daí y=(y^3)^3=y^9, que em [0,2] y=0 ou y=1. Isso gera dois candidatos interiores:
(x,y)=(0,0) e (1,1).

Passo 3

Avaliação em cada ponto crítico:
f(0,0)=0+0-0+2=2,
f(1,1)=1+1-4+2=0.
Logo, até aqui o menor valor é 0 em (1,1) e o maior é 2 em (0,0).

Passo 4

Analisamos a fronteira x=0, 0\le y\le2:
f(0,y)=y^4+2,\quad \min_{[0,2]}=2\\ (\text{em }y=0),\quad \max_{[0,2]}=18\\ (\text{em }y=2).
E a fronteira y=0, 0\le x\le3:
f(x,0)=x^4+2,\quad \min_{[0,3]}=2\\ (\text{em }x=0),\quad \max_{[0,3]}=83\\ (\text{em }x=3).

Passo 5

Fronteira x=3, 0\le y\le2: seja
g(y)=f(3,y)=81+y^4-12y+2=y^4-12y+83.
Temos
g'(y)=4y^3-12=0\quad\Longrightarrow\quad y=\sqrt[3]{3}\approx1{,}442.
Então
g(0)=83,\quad g(2)=16-24+83=75,\quad g(\sqrt[3]{3})=-9\sqrt[3]{3}+83\approx70{,}02.
Logo sobre x=3 o mínimo é 70{,}02 e o máximo é 83.

Passo 6

Fronteira y=2, 0\le x\le3: seja
h(x)=f(x,2)=x^4-8x+18.
Temos
h'(x)=4x^3-8=0\quad\Longrightarrow\quad x=\sqrt[3]{2}\approx1{,}260.
Então
h(0)=18,\quad h(3)=81-24+18=75,\quad h(\sqrt[3]{2})=-6\sqrt[3]{2}+18\approx10{,}44.
Logo sobre y=2 o mínimo é 10{,}44 e o máximo é 75.

Resposta

O mínimo absoluto vale \displaystyle0 e ocorre em (1,1).
O máximo absoluto vale \displaystyle83 e ocorre em (3,0).

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