Em cada item, determine o crescimento máximo da função f no ponto P e em que sentido isso ocorre. Sugestão. Use o exercício P2.
(a) f(x, y)=xy, P=(2,1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função $ f(x, y) = \frac{x}{y} $ e um ponto específico $ P = (2, 1) $. A tarefa é descobrir qual é o crescimento máximo dessa função naquele ponto e em qual direção esse crescimento acontece. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, principalmente o gradiente da função.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é o gradiente. O gradiente de uma função de duas variáveis, como a nossa $ f(x, y) $, é um vetor que aponta na direção em que a função cresce mais rapidamente. Para encontrar o gradiente, calculamos as derivadas parciais da função em relação a $ x $ e $ y $.

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $:
f
Isso porque, tratando $ y $ como constante, a derivada de $ x $ é 1, então dividimos por $ y $.

Passo 4

Agora, calculamos a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $:
f
Aqui, usamos a regra do quociente: a derivada de $ \frac{1}{y} $ é $ -\frac{1}{y^2} $, multiplicando pelo $ x $ que está na frente.

Passo 5

Com as derivadas parciais em mãos, o gradiente de $ f $ é dado por:
f

Passo 6

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto $ P = (2, 1) $:
P = (2, 1)

Passo 7

O vetor gradiente $ (1, -2) $ nos mostra a direção em que a função $ f $ está crescendo mais rapidamente no ponto $ P $. Para encontrar a taxa máxima de crescimento, calculamos o módulo desse vetor:
(1, -2)

Resposta

No ponto $ P = (2, 1) $, o crescimento máximo da função $ f(x, y) = \frac{x}{y} $ é $ \sqrt{5} $ e ocorre na direção do vetor $ (1, -2) $.

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