EDOs de Ia Ordem: Resolva as EDOs
x^2 y^prime+y=2, y(0)=1

Passo 1

Estamos com uma EDO de primeira ordem não exata mas que podemos tratar como linear:
A equação é
x^2y' + y = 2
com a condição inicial y(0)=1. Vamos resolver o problema passo a passo usando o método da equação linear.

Passo 2

Primeiro dividimos tudo por x^2 (supondo xneq0) para pôr no formato padrão y' + P(x)y = Q(x):
y' + 1x^2,y = 2x^2
Aqui P(x)=1/x^2 e Q(x)=2/x^2.

Passo 3

Calculamos o fator integrante mu(x), que é e^integral P(x),dx. Temos:
integral 1x^2,dx = -1x,
portanto
mu(x) = e^-1/x

Passo 4

Multiplicamos a EDO pelo fator integrante:
e^-1/xy' + 1x^2e^-1/xy = 2x^2e^-1/x
O lado esquerdo é a derivada de e^-1/xy, logo:
ddxl(e^-1/xyr) = 2x^2e^-1/x

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x. No lado direito, fazemos a substituição u=-1/x, então du=1/x^2,dx. Assim:
$$\int \frac{d}{dx}(e^{-1/x}y),dx = \int \frac{2}{x{2}}e{-1/x},dx
= 2\int e^{u},du = 2e^{u} + C = 2e^{-1/x} + C.$$

Passo 6

Voltando, temos
e^-1/xy = 2e^-1/x + C
e isolando y:
y(x) = 2 + Ce^1/x
Esta é a solução geral definida para xneq0.

Passo 7

Para impor y(0)=1 precisaríamos estender a solução até x=0, mas observe que e^1/x não tem limite finito quando xto0^+ nem quando xto0^-. Além disso, a própria equação original é singular em x=0 (coeficiente x^2 se anula). Assim, não há constante C que faça y(0)=1 nem solução que passe por x=0.

Resposta

Solução geral: y(x)=2+Ce^1/x. O problema de valor inicial com y(0)=1 não admite solução porque a equação é singular em x=0 e não há C que satisfaça a condição.

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