EDOs de Ia Ordem: Resolva as EDOs
Passo 1
Estamos com uma EDO de primeira ordem não exata mas que podemos tratar como linear:
A equação é
A equação é
com a condição inicial
Passo 2
Primeiro dividimos tudo por
(supondo
) para pôr no formato padrão
:
Aqui
Passo 3
Calculamos o fator integrante
, que é
. Temos:
portanto
Passo 4
Multiplicamos a EDO pelo fator integrante:
O lado esquerdo é a derivada de
Passo 5
Integramos ambos os lados em relação a
. No lado direito, fazemos a substituição
, então
. Assim:
$$\int \frac{d}{dx}(e^{-1/x}y),dx = \int \frac{2}{x{2}}e{-1/x},dx
= 2\int e^{u},du = 2e^{u} + C = 2e^{-1/x} + C.$$
Passo 6
Voltando, temos
e isolando
Esta é a solução geral definida para
.
Passo 7
Para impor
precisaríamos estender a solução até
, mas observe que
não tem limite finito quando
nem quando
. Além disso, a própria equação original é singular em
(coeficiente
se anula). Assim, não há constante
que faça
nem solução que passe por
.
Resposta
Solução geral:
. O problema de valor inicial com
não admite solução porque a equação é singular em
e não há
que satisfaça a condição.