EDOs de Ia Ordem: Resolva as EDOs
y^prime=e^x+y^2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO y'=e^x+y^2. O conteúdo é equações diferenciais de primeira ordem do tipo separável, e vamos precisar usar separação de variáveis e integrar exponenciais e a função gaussiana.

Passo 2

Escrevemos a derivada como dydx=e^x+y^2=e^x,e^y^2. A ideia é separar as variáveis y de um lado e x do outro:
dye^y^2=e^x,dx

Passo 3

Agora integramos ambos os lados. No lado de y aparece integral e^-y^2dy, que leva à função erro (erf). No lado de x temos integração de exponencial:
integral e^-y^2dy = integral e^x dx

Passo 4

Calculando as integrais:
integral e^-y^2dy = raizpi2,erf(y) + C1,integral e^x dx = e^x + C2

Passo 5

Ajustamos as constantes num único C:
raizpi2,erf(y) = e^x + C

Passo 6

Por fim, resolvemos para y aplicando a inversa da função erro:
erf(y) = 2raizpil(e^x + Cr)
$$
y = \mathrm{erf}{-1}\Bigl(\tfrac{2}{\sqrt{\pi}}(ex + C)\Bigr).$$

Resposta

y(x)=erf^-1l(tfrac2raizpi(e^x + C)r), onde C é constante de integração.

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