Em cada item, determine o crescimento máximo da função f no ponto P e em que sentido isso ocorre. Sugestão. Use o exercício C2.
(a) f(x, y)=arctg(x y), P=(1,2).

Passo 1

Beleza, o enunciado quer o crescimento máximo de f(x,y) = arctan(xy) no ponto P=(1,2). Para isso, vamos usar derivadas parciais, montar o gradiente e lembrar que o valor máximo da derivada direcional é o módulo do gradiente, direcionado pelo próprio gradiente (exercício C2).

Passo 2

Como f(x,y) = arctan(u) com u=xy, aplicando derivação de arctan e regra da cadeia, obtemos as derivadas parciais:
partial fpartial x = y1+(xy)^2, partial fpartial y = x1+(xy)^2

Passo 3

No ponto P=(1,2), temos xy = 2 e 1+(xy)^2 = 5. Logo,
partial fpartial x(1,2) = 25, partial fpartial y(1,2) = 15
Assim, o gradiente em P é
nabla f(1,2) = (25, 15)

Passo 4

Pela teoria de derivada direcional (exercício C2), o crescimento máximo de f em P é o módulo de nabla f(1,2) e ocorre na direção desse vetor. Calculando o módulo:
|nabla f(1,2)| = raiz(25)^2 + (15)^2 = raiz55
O vetor unitário na direção do gradiente é
nabla f(1,2)|nabla f(1,2)| = (2raiz5, 1raiz5)

Resposta

O crescimento máximo é raiz55, e ocorre na direção do vetor unitário (2raiz5, 1raiz5).

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