EDOs de Ia Ordem: Resolva as EDOs
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO de primeira ordem
Este é um exercício sobre equações de Bernoulli, e vamos precisar usar a transformação que torna a EDO não linear em uma linear via a substituição apropriada e, em seguida, fator integrante.
Passo 2
Reconhecemos que a equação está no formato de Bernoulli
com
Passo 3
Para aplicar o método de Bernoulli, definimos a nova variável
Dessa forma calcula-se
Passo 4
Substituindo
na equação original e dividindo por
, obtemos uma equação linear em
:
Passo 5
Agora resolvemos a equação linear
O fator integrante é
Multiplicando tudo por
e reconhecendo o lado esquerdo como derivada de
, temos
Integrando,
Passo 6
Voltando à variável original, lembrando que
, fica
e, isolando
,
Passo 7
Por fim, podemos absorver o
numa constante arbitrária
e escrever a solução geral de forma mais simples:
$$
y=\frac{3x}{K - x^3},$$
onde é a constante de integração.
onde
Passo 8
Essa é a solução geral da EDO dada. Ela descreve todas as curvas soluções parametrizadas pela constante
.