EDOs de Ia Ordem: Resolva as EDOs
y^prime-yx=x y^2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO de primeira ordem
y'-yx=x,y^2
Este é um exercício sobre equações de Bernoulli, e vamos precisar usar a transformação que torna a EDO não linear em uma linear via a substituição apropriada e, em seguida, fator integrante.

Passo 2

Reconhecemos que a equação está no formato de Bernoulli
y'+p(x)y=q(x)y^n
com
p(x)=-1x, q(x)=x, n=2

Passo 3

Para aplicar o método de Bernoulli, definimos a nova variável
z=y^1-n=y^-1
Dessa forma calcula-se
z'=-y^-2y'

Passo 4

Substituindo y'=-y^2z' na equação original e dividindo por y^2, obtemos uma equação linear em z:
z'+1xz=-x

Passo 5

Agora resolvemos a equação linear
z'+1xz=-x
O fator integrante é
mu(x)=e^integral1xdx=x
Multiplicando tudo por x e reconhecendo o lado esquerdo como derivada de xz, temos
ddx(x z)=-x^2
Integrando,
x z=-x^33+C

Passo 6

Voltando à variável original, lembrando que z=1/y, fica
1y=-x^23+Cx
e, isolando y,
y=1-x^23+Cx= 1C - x^3/3x= xC - x^3/3

Passo 7

Por fim, podemos absorver o /3 numa constante arbitrária K=3C e escrever a solução geral de forma mais simples:
$$
y=\frac{3x}{K - x^3},$$
onde y=3xK - x^3, é a constante de integração.

Passo 8

Essa é a solução geral da EDO dada. Ela descreve todas as curvas soluções parametrizadas pela constante K.

Resposta

y=3xK - x^3

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