Em cada item, determine o gradiente da função
no ponto
. Sugestão. Use o exercício anterior.
(i)
.
(i)
Passo 1
Estamos lidando com a função de três variáveis f(x,y,z)=x ln(yz) e queremos o gradiente no ponto P=(1,2,1/2). O conteúdo aqui é derivadas parciais e uso da regra da cadeia para funções compostas.
Passo 2
O gradiente é o vetor de derivadas parciais de f. Primeiro, lembramos que ∇f=(∂f/∂x,∂f/∂y,∂f/∂z). Vamos calcular cada componente usando a regra do produto e a derivada de ln:
Passo 3
Para ∂f/∂x temos
Para ∂f/∂y, aplicando a regra da cadeia em ln(yz):
Para ∂f/∂z, de forma análoga:
Passo 4
Agora avaliamos essas expressões no ponto P=(1,2,1/2). Primeiro yz=2\times\tfrac12=1, logo ln(yz)=0. Depois x/y=1/2 e x/z=1/(1/2)=2. Assim obtemos os valores das componentes do gradiente.