Em cada item, determine o gradiente da função f no ponto P. Sugestão. Use o exercício anterior.
(i) f(x, y, z)=x ln (y z), P=(1,2,1 / 2).

Passo 1

Estamos lidando com a função de três variáveis f(x,y,z)=x ln(yz) e queremos o gradiente no ponto P=(1,2,1/2). O conteúdo aqui é derivadas parciais e uso da regra da cadeia para funções compostas.

Passo 2

O gradiente é o vetor de derivadas parciais de f. Primeiro, lembramos que ∇f=(∂f/∂x,∂f/∂y,∂f/∂z). Vamos calcular cada componente usando a regra do produto e a derivada de ln:

Passo 3

Para ∂f/∂x temos
partial fpartial x=ln(yz)
Para ∂f/∂y, aplicando a regra da cadeia em ln(yz):
partial fpartial y=xcdot1yzcdot z=xy
Para ∂f/∂z, de forma análoga:
partial fpartial z=xcdot1yzcdot y=xz

Passo 4

Agora avaliamos essas expressões no ponto P=(1,2,1/2). Primeiro yz=2\times\tfrac12=1, logo ln(yz)=0. Depois x/y=1/2 e x/z=1/(1/2)=2. Assim obtemos os valores das componentes do gradiente.

Resposta

nabla f(1,2,tfrac12)=(0,tfrac12,2)

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