Em cada item, determine o crescimento máximo da função f no ponto P e em que sentido isso ocorre. Sugestão. Use o exercício C2.
(j) f(x, y, z)=xx+z, P=(8,1,3).

Passo 1

O exercício pede para achar o crescimento máximo da função f(x,y,z)=x/(x+z) no ponto P=(8,1,3) e em que direção isso ocorre. O conteúdo principal aqui é derivada direcional: a derivada direcional máxima é a norma do gradiente, e ela ocorre ao longo do vetor gradiente. Para isso, vamos usar a definição de gradiente e a regra do quociente para derivadas parciais.

Passo 2

Precisamos das derivadas parciais de f. Aplicando a regra do quociente para u=x e v=x+z, temos u’=1 e v’=1, de modo que:

Passo 3

partial fpartial x=(1),(x+z)-x,(1)(x+z)^2=z(x+z)^2

Passo 4

Como f não depende de y,
partial fpartial y=0

Passo 5

E para z, usando u’=0 e v’=1 na mesma regra:
partial fpartial z=0,(x+z)-x,(1)(x+z)^2=-x(x+z)^2

Passo 6

Agora avaliamos essas derivadas no ponto P=(8,1,3), onde x+z=11. Assim:
partial fpartial x(P)=311^2=3121,
partial fpartial y(P)=0,
partial fpartial z(P)=-811^2=-8121

Passo 7

O vetor gradiente em P é
nabla f(P)=l(tfrac3121,,0,,-tfrac8121r)
A derivada direcional máxima é a norma desse vetor, e ocorre exatamente na direção do próprio gradiente. Vamos calcular a norma:
|nabla f(P)|=raizl(tfrac3121r)^2+0^2+l(-tfrac8121r)^2 =raiz3^2+8^2121=raiz73121

Passo 8

A direção em que isso ocorre é o vetor unitário na direção de ∇f§:
nabla f(P)|nabla f(P)|=gl(3121,0,-8121gr)/raiz73121=l(3raiz73,0,-8raiz73r)

Resposta

O crescimento máximo de f em P é raiz73121 e ocorre na direção l(tfrac3raiz73,0,-tfrac8raiz73r).

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