Em cada item, determine o crescimento máximo da função
no ponto
e em que sentido isso ocorre. Sugestão. Use o exercício C2.
(j)
.
(j)
Passo 1
O exercício pede para achar o crescimento máximo da função f(x,y,z)=x/(x+z) no ponto P=(8,1,3) e em que direção isso ocorre. O conteúdo principal aqui é derivada direcional: a derivada direcional máxima é a norma do gradiente, e ela ocorre ao longo do vetor gradiente. Para isso, vamos usar a definição de gradiente e a regra do quociente para derivadas parciais.
Passo 2
Precisamos das derivadas parciais de f. Aplicando a regra do quociente para u=x e v=x+z, temos u’=1 e v’=1, de modo que:
Passo 3
Passo 4
Como f não depende de y,
Passo 5
E para z, usando u’=0 e v’=1 na mesma regra:
Passo 6
Agora avaliamos essas derivadas no ponto P=(8,1,3), onde x+z=11. Assim:
Passo 7
O vetor gradiente em P é
A derivada direcional máxima é a norma desse vetor, e ocorre exatamente na direção do próprio gradiente. Vamos calcular a norma:
Passo 8
A direção em que isso ocorre é o vetor unitário na direção de ∇f§:
Resposta
O crescimento máximo de f em P é
e ocorre na direção
.