Em cada item, determine o crescimento máximo da função
no ponto
e em que sentido isso ocorre. Sugestão. Use o exercício P2.
(f)
.
(f)
Passo 1
O enunciado pede para achar o crescimento máximo de f no ponto P e em que sentido isso ocorre. O conteúdo aqui é derivada direcional e gradiente, pois o crescimento máximo de uma função num ponto é dado pelo tamanho do seu gradiente, e o sentido de máximo crescimento é a direção desse gradiente.
Para resolver, vamos usar a definição de derivada direcional: se u é um vetor unitário, então a derivada direcional de f em P no sentido de u é D_uf§=∇f§⋅u. O maior valor que D_uf§ pode atingir é ‖∇f§‖, e ele ocorre quando u é paralelo a ∇f§, ou seja, u=∇f§/‖∇f§‖.
Para resolver, vamos usar a definição de derivada direcional: se u é um vetor unitário, então a derivada direcional de f em P no sentido de u é D_uf§=∇f§⋅u. O maior valor que D_uf§ pode atingir é ‖∇f§‖, e ele ocorre quando u é paralelo a ∇f§, ou seja, u=∇f§/‖∇f§‖.
Passo 2
Vamos calcular as derivadas parciais de f(x,y,z)=x2y+y2z:
Passo 3
Agora avaliamos essas derivadas no ponto P=(1,2,3):
Passo 4
Logo o gradiente em P é
Passo 5
O crescimento máximo é o módulo desse gradiente, e o sentido é na direção dele.
Resposta
O crescimento máximo de f em P é
, e ocorre no sentido do vetor
(ou no vetor unitário
).