Em cada item, determine o crescimento máximo da função f no ponto P e em que sentido isso ocorre. Sugestão. Use o exercício P2.
(f) f(x, y, z)=x^2 y+y^2 z, P=(1,2,3).

Passo 1

O enunciado pede para achar o crescimento máximo de f no ponto P e em que sentido isso ocorre. O conteúdo aqui é derivada direcional e gradiente, pois o crescimento máximo de uma função num ponto é dado pelo tamanho do seu gradiente, e o sentido de máximo crescimento é a direção desse gradiente.
Para resolver, vamos usar a definição de derivada direcional: se u é um vetor unitário, então a derivada direcional de f em P no sentido de u é D_uf§=∇f§⋅u. O maior valor que D_uf§ pode atingir é ‖∇f§‖, e ele ocorre quando u é paralelo a ∇f§, ou seja, u=∇f§/‖∇f§‖.

Passo 2

Vamos calcular as derivadas parciais de f(x,y,z)=x2y+y2z:
partial fpartial x=2xy, partial fpartial y=x^2+2yz, partial fpartial z=y^2

Passo 3

Agora avaliamos essas derivadas no ponto P=(1,2,3):
partial fpartial x(1,2,3)=2cdot1cdot2=4, partial fpartial y(1,2,3)=1^2+2cdot2cdot3=1+12=13, partial fpartial z(1,2,3)=2^2=4

Passo 4

Logo o gradiente em P é
nabla f(1,2,3)=(4,13,4)

Passo 5

O crescimento máximo é o módulo desse gradiente, e o sentido é na direção dele.

Resposta

O crescimento máximo de f em P é |nabla f(1,2,3)|=raiz201, e ocorre no sentido do vetor nabla f(1,2,3)=(4,13,4) (ou no vetor unitário tfrac1raiz201(4,13,4)).

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