Em cada item, determine o gradiente da função f.
(g) f(x, y, z)=arctg(x y z).

Passo 1

A questão pede o gradiente de f(x,y,z)=arctg(xyz). O gradiente é o vetor cujas componentes são as derivadas parciais de f em relação a x, y e z. Como f é composta pela função arctg(u) e pela função u(x,y,z)=xyz, vamos usar regra da cadeia.

Passo 2

Definimos u(x,y,z)=xyz e reescrevemos f como f(u)=arctg(u). Sabemos que
dduarctg(u)=11+u^2
Além disso, as derivadas parciais de u são
partial upartial x=yz, partial upartial y=xz, partial upartial z=xy

Passo 3

Aplicamos a regra da cadeia para cada componente de nabla f:
partial fpartial x=11+u^2partial upartial x=yz1+(xyz)^2,
partial fpartial y=xz1+(xyz)^2, partial fpartial z=xy1+(xyz)^2

Resposta

nabla f(x,y,z)=l(yz1+(xyz)^2,,xz1+(xyz)^2,,xy1+(xyz)^2r)

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