Em cada item, determine o crescimento máximo da função f no ponto P e em que sentido isso ocorre. Sugestão. Use o exercício P2.
(b) f(x, y)=x^2 ln y, P=(3,1).

Passo 1

Aqui a ideia é achar em P=(3,1) a taxa de crescimento máxima de f(x,y)=x^2\ln y e o sentido em que isso ocorre, usando derivada direcional e gradiente.

Passo 2

Derivamos f parcialmente e avaliamos em P para montar o gradiente. As derivadas parciais são:
partial fpartial x=2xln y, partial fpartial y=x^2y
Em P=(3,1) isso dá:
partial fpartial x(3,1)=2cdot3ln1=0, partial fpartial y(3,1)=3^21=9,
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nabla f(3,1)=(0,9)

Passo 3

A teoria diz que a derivada direcional de f em P na direção unitária u é
D uf(P)=nabla f(P)cdot u,
e que o valor máximo de D_{\mathbf u}f§, variando u, é |nabla f(P)|, atingido quando u é paralelo a nabla f(P).

Passo 4

Calculamos o módulo de nabla f(3,1)=(0,9):
|nabla f(3,1)|=raiz0^2+9^2=9
E a direção unitária correspondente é
u=(0,9)9=(0,1)

Resposta

O crescimento máximo em P é 9, ocorrendo na direção do vetor unitário (0,1).

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