Em cada item, determine o gradiente da função f no ponto P. Sugestão. Use o exercício anterior.
(g) f(x, y, z)=arctg(x y z), P=(1,2,1).

Passo 1

O enunciado pede para determinar o gradiente de no ponto f(x,y,z)=arctg(xyz). A matéria envolvida é cálculo de derivadas parciais e regra da cadeia para funções compostas. Vamos precisar da derivada de e da derivada do produto P=(1,2,1).

Passo 2

Para a derivada parcial em x, definimos u(x,y,z)=xyz e usamos regra da cadeia. Temos partial u/partial x=yz. Assim
partial fpartial x=u'1+u^2=yz1+(xyz)^2
De forma análoga derivamos em y e em z e obtemos
partial fpartial y=xz1+(xyz)^2,
partial fpartial z=xy1+(xyz)^2

Passo 3

Avaliando cada parcial no ponto P=(1,2,1). Primeiro calculamos xyz em P:
xyz=1cdot2cdot1=2,
portanto
1+(xyz)^2=1+2^2=5
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partial fpartial x(1,2,1)=25,
partial fpartial y(1,2,1)=15,
partial fpartial z(1,2,1)=25

Resposta

nabla f(1,2,1)=l(tfrac25,tfrac15,tfrac25r)

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