Em cada item, determine o gradiente da função f.
(a) f(x, y)=arctg(x y).

Passo 1

O enunciado pede o gradiente de , ou seja, encontrar as derivadas parciais de f(x,y)=arctg(xy) em relação a f e x. O conteúdo envolve derivadas parciais e aplicação da regra da cadeia junto com a derivada de y, que é arctan(u).

Passo 2

Para calcular partial fpartial x, note que com f(x,y)=arctg(u). Pela regra da cadeia temos . Aqui u=xy, logo:
ddxarctg(u)=11+u^2cdot u'

Passo 3

De modo análogo, para partial fpartial y usamos o mesmo u=xy e obtemos u'=x. Assim:
partial fpartial y=11+(xy)^2cdot x=x1+(xy)^2

Resposta

nabla f(x,y)=l(y1+(xy)^2,;x1+(xy)^2r)

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