Em cada item, determine o crescimento máximo da função
no ponto
e em que sentido isso ocorre. Sugestão. Use o exercício C2.
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Passo 1
O enunciado pede para determinar a taxa de crescimento máximo de f no ponto P e o sentido em que isso ocorre, usando derivadas direcionais e o gradiente. O conteúdo de teoria que vamos usar é que o crescimento máximo de f em P é dado pelo módulo do gradiente ∇f§, e esse crescimento ocorre na direção do próprio gradiente.
Passo 2
Para encontrar o gradiente de f(x,y)=x{2}e{-y}, calculamos as derivadas parciais:
A derivada parcial em relação a x é
e a derivada parcial em relação a y é
Passo 3
Agora avaliamos o gradiente no ponto P=(3,0):
Passo 4
O crescimento máximo é o módulo do gradiente em P:
Esse crescimento ocorre na direção do vetor gradiente. Para obter o vetor unitário, dividimos (6,−9) por seu módulo:
Resposta
Crescimento máximo vale
e ocorre na direção do vetor unitário
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