Em cada item, determine o crescimento máximo da função f no ponto P e em que sentido isso ocorre. Sugestão. Use o exercício C2.
© f(x, y)=x^2 e^-y, P=(3,0).

Passo 1

O enunciado pede para determinar a taxa de crescimento máximo de f no ponto P e o sentido em que isso ocorre, usando derivadas direcionais e o gradiente. O conteúdo de teoria que vamos usar é que o crescimento máximo de f em P é dado pelo módulo do gradiente ∇f§, e esse crescimento ocorre na direção do próprio gradiente.

Passo 2

Para encontrar o gradiente de f(x,y)=x{2}e{-y}, calculamos as derivadas parciais:
A derivada parcial em relação a x é
partial fpartial x=2x e^-y,
e a derivada parcial em relação a y é
partial fpartial y=x^2(-e^-y)=-x^2e^-y

Passo 3

Agora avaliamos o gradiente no ponto P=(3,0):
nabla f(3,0)=l(2cdot3,e^0,,-(3)^2e^0r)=(6,-9)

Passo 4

O crescimento máximo é o módulo do gradiente em P:
|nabla f(3,0)|=raiz6^2+(-9)^2=raiz36+81=raiz117=3raiz13
Esse crescimento ocorre na direção do vetor gradiente. Para obter o vetor unitário, dividimos (6,−9) por seu módulo:
u=(6,-9)3raiz13=l(2raiz13,-3raiz13r)

Resposta

Crescimento máximo vale 3raiz13 e ocorre na direção do vetor unitário l(2/raiz13,-3/raiz13r).

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