Em cada item, determine o crescimento máximo da função
no ponto
e em que sentido isso ocorre. Sugestão. Use o exercício C2.
(i)
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(i)
Passo 1
O enunciado pede o crescimento máximo (derivada direcional de maior valor) de uma função de várias variáveis no ponto P e em que sentido esse crescimento ocorre. Aqui o conteúdo é gradiente e derivada direcional e vamos precisar usar o fato de que o máximo crescimento em P ocorre na direção do gradiente, com intensidade igual ao seu módulo.
Passo 2
Para achar o gradiente de f(x,y,z)=x,\ln(yz), calculamos as derivadas parciais:
f_x=\ln(yz)
f_y=\frac{x}{y}
f_z=\frac{x}{z}
Portanto
f_x=\ln(yz)
f_y=\frac{x}{y}
f_z=\frac{x}{z}
Portanto
Passo 3
Agora avaliamos o gradiente em P=(1,2,1/2). Primeiro yz=2\cdot\tfrac12=1 e \ln1=0. Como x=1, temos x/y=1/2 e x/z=1/(1/2)=2. Logo
Passo 4
O crescimento máximo é o módulo desse gradiente e o sentido é dado pelo vetor unitário na direção dele. Calculamos o módulo:
O vetor unitário é
Resposta
O crescimento máximo é
e ocorre na direção do vetor unitário
.