Em cada item, determine o crescimento máximo da função f no ponto P e em que sentido isso ocorre. Sugestão. Use o exercício C2.
(i) f(x, y, z)=x ln (y z), P=(1,2,1 / 2).

Passo 1

O enunciado pede o crescimento máximo (derivada direcional de maior valor) de uma função de várias variáveis no ponto P e em que sentido esse crescimento ocorre. Aqui o conteúdo é gradiente e derivada direcional e vamos precisar usar o fato de que o máximo crescimento em P ocorre na direção do gradiente, com intensidade igual ao seu módulo.

Passo 2

Para achar o gradiente de f(x,y,z)=x,\ln(yz), calculamos as derivadas parciais:
f_x=\ln(yz)
f_y=\frac{x}{y}
f_z=\frac{x}{z}
Portanto
nabla f(x,y,z)=l(ln(yz),,tfracxy,,tfracxzr)

Passo 3

Agora avaliamos o gradiente em P=(1,2,1/2). Primeiro yz=2\cdot\tfrac12=1 e \ln1=0. Como x=1, temos x/y=1/2 e x/z=1/(1/2)=2. Logo
nabla f(1,2,tfrac12)=(0,,tfrac12,,2)

Passo 4

O crescimento máximo é o módulo desse gradiente e o sentido é dado pelo vetor unitário na direção dele. Calculamos o módulo:
|nabla f|=raiz0^2+(tfrac12)^2+2^2=raiztfrac14+4=raiztfrac174=tfracraiz172
O vetor unitário é
1|nabla f|(0,tfrac12,2)=2raiz17(0,tfrac12,2)=(0,tfrac1raiz17,tfrac4raiz17)

Resposta

O crescimento máximo é tfracraiz172 e ocorre na direção do vetor unitário (0,tfrac1raiz17,tfrac4raiz17).

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