Em cada item, determine a derivada direcional da função f no ponto P na direção do vetor u. Sugestão. Use o exercício anterior.
(i) f(x, y, z)=x ln (y z), P=(1,2,1 / 2), u=(3,0,4).

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de (x,y,z)=x ln(yz) no ponto P=(1,2,1/2) na direção do vetor u=(3,0,4). Isso envolve o conteúdo de derivada direcional via gradiente, usando a fórmula Dvec uf(P)=nabla f(P)cdotvec u|vec u|.

Passo 2

Primeiro vamos achar o gradiente de f, ou seja, as derivadas parciais:
partial fpartial x=ln(yz), partial fpartial y=xcdot1y, partial fpartial z=xcdot1z
Aqui usamos que d(ln(yz))/dy=1/(yz)cdot z=1/y e similar para z.

Passo 3

Agora avaliamos o gradiente em P=(1,2,1/2). Como yz=2⋅(1/2)=1, temos
partial fpartial x(P)=ln1=0, partial fpartial y(P)=12, partial fpartial z(P)=11/2=2,
logo nabla f(P)=(0,,1/2,,2).

Passo 4

Em seguida normalizamos u=(3,0,4). O comprimento é
|vec u|=raiz3^2+0^2+4^2=5,
então a direção unitária é hat u=(3/5,,0,,4/5).

Passo 5

Por fim, a derivada direcional é o produto escalar:
Dvec uf(P)=nabla f(P)cdothat u=0cdottfrac35+tfrac12cdot0+2cdottfrac45=85

Resposta

85

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