Em cada item, determine a derivada direcional da função
no ponto
na direção do vetor
. Sugestão. Use o exercício anterior.
(i)
.
(i)
Passo 1
O enunciado pede a derivada direcional de (x,y,z)=x ln(yz) no ponto P=(1,2,1/2) na direção do vetor u=(3,0,4). Isso envolve o conteúdo de derivada direcional via gradiente, usando a fórmula
.
Passo 2
Primeiro vamos achar o gradiente de f, ou seja, as derivadas parciais:
Aqui usamos que
e similar para z.
Passo 3
Agora avaliamos o gradiente em P=(1,2,1/2). Como yz=2⋅(1/2)=1, temos
logo
.
Passo 4
Em seguida normalizamos u=(3,0,4). O comprimento é
então a direção unitária é
.
Passo 5
Por fim, a derivada direcional é o produto escalar: