Em cada item, determine a derivada direcional da função f no ponto P na direção do vetor u. Sugestão. Use o exercício anterior.
(e) f(x, y)=sen(x y), P=(1,0), u=(-1,1).

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de
f(x,y)=sen(xy) no ponto P=(1,0) na direção do vetor u=(-1,1). O conteúdo usado será derivada direcional via gradiente e produto escalar com vetor unitário; vamos precisar calcular ∇f e normalizar u.

Passo 2

Para achar o gradiente, lembramos que ∇f=(∂f/∂x,∂f/∂y). Como f(x,y)=sen(xy), temos as derivadas parciais
∂f/∂x = y·cos(xy)
∂f/∂y = x·cos(xy)

Passo 3

Agora avaliamos as parciais em P=(1,0). Como xy=1·0=0 e cos(0)=1, obtemos
∂f/∂x|{P}=0·1=0
∂f/∂y|
{P}=1·1=1
Então ∇f(1,0)=(0,1).

Passo 4

Precisamos do vetor unitário na direção de u=(-1,1). O comprimento de u é
||u||=√[(-1)2+12]=√2
Logo o vetor unitário é
û = (-1/√2,1/√2).

Passo 5

A derivada direcional de f em P na direção de u é o produto escalar ∇f(1,0)·û. Assim,
D_{u}f(1,0) = (0,1)·(-1/√2,1/√2) = 0·(-1/√2)+1·(1/√2) = 1/√2.

Resposta

1raiz2

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