Em cada item, determine a derivada direcional da função
no ponto
na direção do vetor
. Sugestão. Use o exercício anterior.
(e)
.
(e)
Passo 1
O enunciado pede a derivada direcional de
f(x,y)=sen(xy) no ponto P=(1,0) na direção do vetor u=(-1,1). O conteúdo usado será derivada direcional via gradiente e produto escalar com vetor unitário; vamos precisar calcular ∇f e normalizar u.
f(x,y)=sen(xy) no ponto P=(1,0) na direção do vetor u=(-1,1). O conteúdo usado será derivada direcional via gradiente e produto escalar com vetor unitário; vamos precisar calcular ∇f e normalizar u.
Passo 2
Para achar o gradiente, lembramos que ∇f=(∂f/∂x,∂f/∂y). Como f(x,y)=sen(xy), temos as derivadas parciais
∂f/∂x = y·cos(xy)
∂f/∂y = x·cos(xy)
∂f/∂x = y·cos(xy)
∂f/∂y = x·cos(xy)
Passo 3
Agora avaliamos as parciais em P=(1,0). Como xy=1·0=0 e cos(0)=1, obtemos
∂f/∂x|{P}=0·1=0
∂f/∂y|{P}=1·1=1
Então ∇f(1,0)=(0,1).
∂f/∂x|{P}=0·1=0
∂f/∂y|{P}=1·1=1
Então ∇f(1,0)=(0,1).
Passo 4
Precisamos do vetor unitário na direção de u=(-1,1). O comprimento de u é
||u||=√[(-1)2+12]=√2
Logo o vetor unitário é
û = (-1/√2,1/√2).
||u||=√[(-1)2+12]=√2
Logo o vetor unitário é
û = (-1/√2,1/√2).
Passo 5
A derivada direcional de f em P na direção de u é o produto escalar ∇f(1,0)·û. Assim,
D_{u}f(1,0) = (0,1)·(-1/√2,1/√2) = 0·(-1/√2)+1·(1/√2) = 1/√2.
D_{u}f(1,0) = (0,1)·(-1/√2,1/√2) = 0·(-1/√2)+1·(1/√2) = 1/√2.