Considere a função f(x, y, z)=x^22^2-y^23^2+z^2.
© Determine uma equação para a reta normal à superfície de nível do item (a) no ponto P= (-2,-3,1).

Passo 1

A questão pede a equação da reta normal à superfície de nível da função f(x,y,z)=x^22^2-y^23^2+z^2 no ponto P=(-2,-3,1). Como a reta normal a uma superfície de nível em um ponto é a reta que passa por esse ponto na direção do gradiente de f nesse ponto, vamos usar a definição de gradiente.

Passo 2

Primeiro encontramos o gradiente de f. Lembrando que nabla f=(fx,fy,fz), temos
fx=partialpartial xl(x^24-y^29+z^2r)=x2,
fy=partialpartial yl(x^24-y^29+z^2r)=-2y9,
fz=partialpartial zl(x^24-y^29+z^2r)=2z

Passo 3

Agora avaliamos o gradiente no ponto P=(-2,-3,1):
nabla f(-2,-3,1)=l(-22,,-2(-3)9,,2cdot1r)=l(-1,tfrac23,2r)

Passo 4

A reta normal passando por P com direção dada por nabla f(P) tem equação vetorial
r(t)=(-2,-3,1)+t,(-1,tfrac23,2)
Em coordenadas paramétricas isso dá
x=-2-t,
y=-3+tfrac23t,
z=1+2t

Resposta

Equação vetorial da reta normal: r(t)=(-2,-3,1)+t,l(-1,tfrac23,2r).
Em forma paramétrica: x=-2-t, y=-3+tfrac23t, z=1+2t.

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