Em cada item, determine o crescimento máximo da função f no ponto P e em que sentido isso ocorre. Sugestão. Use o exercício C2.
(b) f(x, y)=x raizy, P=(2,4).

Passo 1

A função é f(x,y)=xraizy e o ponto é P=(2,4). Como queremos o crescimento máximo de f em P, vamos usar o gradiente: o valor máximo da derivada direcional em P é dado por |nabla f(P)| e o sentido onde isso ocorre é o do próprio nabla f(P).

Passo 2

Precisamos primeiro calcular as derivadas parciais de f:
partial fpartial x(x,y)=raizy,
partial fpartial y(x,y)=x2raizy

Passo 3

Agora avaliamos essas derivadas no ponto P=(2,4):
partial fpartial x(2,4)=raiz4=2,
partial fpartial y(2,4)=22raiz4=24=12
Logo, o gradiente em P é
nabla f(2,4)=(2,,tfrac12)

Passo 4

O crescimento máximo em P é o módulo de nabla f(2,4):
|nabla f(2,4)|=raiz2^2+l(tfrac12r)^2=raiz4+tfrac14=raiz172

Passo 5

O sentido em que esse crescimento máximo ocorre é a direção de nabla f(2,4). Normalizando esse vetor para obtermos o vetor unitário, temos:
u=(2,,tfrac12)tfracraiz172=l(4raiz17,,1raiz17r)

Resposta

O crescimento máximo de f em P=(2,4) é raiz172 e ocorre na direção do vetor unitário l(4raiz17,,1raiz17r).

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