Use a tabela da transformada de Laplace para mostrar que:
Lt^1 / 2+t^-1 / 2=raizpi(2 s+1)2 s^1 / 2

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de t^{1/2} + t^{–1/2}. O conteúdo é: transformada de Laplace de potências t^α, usando a tabela que diz que Lt^alpha=Gamma(alpha+1)/s^alpha+1. Vamos usar isso.

Passo 2

Aplicamos a fórmula para t^1/2. Aqui alpha=1/2, logo
Lt^1/2=Gamma(3/2)s^3/2
Como Gamma(3/2)=tfrac12raizpi, temos
Lt^1/2=tfrac12raizpis^3/2=raizpi2,s^3/2

Passo 3

Agora para t^-1/2, temos alpha=-1/2, ainda válido pois Re(alpha)>-1:
Lt^-1/2=Gamma(1/2)s^1/2
E Gamma(1/2)=raizpi, logo
Lt^-1/2=raizpis^1/2

Passo 4

Somando as duas partes:
Lt^1/2+t^-1/2=raizpi2,s^3/2+raizpis^1/2
Para simplificar, colocamos em denominador comum 2,s^3/2:
=raizpi+2,raizpi,s2,s^3/2=raizpi(2s+1)2,s^3/2
Portanto, o resultado correto é
raizpi(2s+1)2,s^3/2 Nota: o enunciado original tinha s^1/2 no denominador, mas o expoente correto é 3/2.

Resposta

raizpi,(2s+1)2,s^3/2

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