Em cada item, determine o crescimento máximo da função
no ponto
e em que sentido isso ocorre. Sugestão. Use o exercício C2.
(f)
.
(f)
Passo 1
O enunciado pede para encontrar o crescimento máximo da função no ponto
e em que sentido esse crescimento ocorre. O conteúdo envolvido é derivadas parciais, gradiente e interpretação geométrica do gradiente como direção de maior crescimento, conforme sugerido pelo exercício C2.
Passo 2
Para achar o gradiente
, vamos calcular cada derivada parcial. Usamos: arctg,z para
.
- .
- .
- .
Passo 3
Agora vamos avaliar o gradiente em
:
-
. -
. -
.
Portanto,.
Passo 4
O crescimento máximo de
em
é o módulo do gradiente nesse ponto, e ocorre na direção do próprio gradiente.
- Módulo:
- Sentido (vetor unitário):
Resposta
O crescimento máximo no ponto é
, e ocorre na direção do vetor
, mais precisamente no sentido do vetor unitário
.