Em cada item, determine o crescimento máximo da função f no ponto P e em que sentido isso ocorre. Sugestão. Use o exercício C2.
(f) f(x, y, z)=x y^2 arctg z, P=(2,1,1).

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o crescimento máximo da função no ponto f(x,y,z)=x,y^2arctg z e em que sentido esse crescimento ocorre. O conteúdo envolvido é derivadas parciais, gradiente e interpretação geométrica do gradiente como direção de maior crescimento, conforme sugerido pelo exercício C2.

Passo 2

Para achar o gradiente nabla f=(fx,fy,fz), vamos calcular cada derivada parcial. Usamos: arctg,z para arctan z.
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Passo 3

Agora vamos avaliar o gradiente em P=(2,1,1):
  • fx(2,1,1)=1^2arctan(1)=1cdotdfracpi4=dfracpi4.
  • fy(2,1,1)=2cdot2cdot1cdotdfracpi4=4cdotdfracpi4=pi.
  • fz(2,1,1)=2cdot1^2cdotdfrac11+1^2=2cdotdfrac12=1.
    Portanto, nabla f(2,1,1)=l(tfracpi4,,pi,,1r).

Passo 4

O crescimento máximo de f em P é o módulo do gradiente nesse ponto, e ocorre na direção do próprio gradiente.
  • Módulo:
|nabla f(2,1,1)|=raizl(tfracpi4r)^2+pi^2+1^2=raizdfracpi^216+pi^2+1
- Sentido (vetor unitário):
u=1|nabla f(2,1,1)|l(tfracpi4,,pi,,1r)

Resposta

O crescimento máximo no ponto é raiztfracpi^216+pi^2+1, e ocorre na direção do vetor l(tfracpi4,,pi,,1r), mais precisamente no sentido do vetor unitário tfrac1raiztfracpi^216+pi^2+1(tfracpi4,,pi,,1).

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