Em cada item, determine a derivada direcional da função f no ponto P na direção do vetor u. Sugestão. Use o exercício anterior.
(b) f(x, y)=x^2 ln y, P=(3,1), u=(-5 / 13,12 / 13).

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de f(x,y)=x² ln y no ponto P=(3,1) na direção do vetor unitário u=(-5/13,12/13). O conteúdo é derivada direcional e vamos precisar do gradiente de f.

Passo 2

A derivada direcional de f em P na direção de u é dada por D_{\vec{u}}f§=\nabla f§\cdot\vec{u}. Primeiro vamos achar o gradiente.
Calculamos as derivadas parciais: fx(x,y)=partialpartial x(x^2ln y)=2xln y, fy(x,y)=partialpartial y(x^2ln y)=x^2cdot1y

Passo 3

Agora avaliamos no ponto P=(3,1): fx(3,1)=2cdot3ln1=6cdot0=0, fy(3,1)=3^2cdot1=9

Passo 4

Finalmente fazemos o produto escalar com u=(-5/13,12/13): Duf(P)=nabla f(P)cdotu=(0,9)cdotl(-513,1213r)=0cdotl(-513r)+9cdot1213=10813

Resposta

108/13

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