Em cada item, determine a derivada direcional da função
no ponto
na direção do vetor
. Sugestão. Use o exercício anterior.
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Passo 1
O enunciado pede a derivada direcional de f(x,y)=x²e^{−y} no ponto P=(3,0) na direção do vetor u=(3,4). Vamos usar o fato de que a derivada direcional D_{\x7f}§ é o produto escalar entre o gradiente ∇f§ e o vetor unitário û na direção de u.
Passo 2
Para achar ∇f, calculamos as derivadas parciais. A derivada parcial em relação a x é f_x(x,y)=2x e^{−y} e a em relação a y é f_y(x,y)=−x² e^{−y}. Esses resultados vêm da regra do produto e da cadeia.
Passo 3
Agora avaliamos essas derivadas parciais no ponto P=(3,0). Temos f_x(3,0)=2·3·e^0=6 e f_y(3,0)=−3²·e^0=−9.
Passo 4
Precisamos também do vetor unitário û na direção de u. O módulo de u=(3,4) é |u|=√(3²+4²)=5. Então û=(3/5,4/5).
Passo 5
Finalmente calculamos a derivada direcional como o produto escalar ∇f§·û: D_{\x0f}§=6·(3/5)+(−9)·(4/5)=(18−36)/5=−18/5.
Resposta
−18/5