Encontre a série de Fourrier da função dada.
© f(x)=lx+1, se, -1 <= x <= 0 1-x, se, 0 <= x<1, f(x+2)=f(x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Série de Fourier juntos! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida por partes no intervalo e que se repete a cada 2 unidades ( ). Nosso objetivo é encontrar a Série de Fourier dessa função.
Para isso, vamos precisar entender alguns conceitos básicos sobre Séries de Fourier, que nos permitem representar funções periódicas como uma soma de senos e cossenos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o período da função. A função se repete a cada 2 unidades, então o período omega0 = piL é 2. A frequência angular básica omega0 = pi é dada por:
onde . Assim,

Passo 3

Agora, vamos lembrar que a Série de Fourier para uma função periódica par f(x) = a02 + sumn=1^infty [ an cos(n omega0 x) + bn sin(n omega0 x) ] pode ser escrita como:
Mas antes de calcular os coeficientes e , precisamos verificar se a função é par, ímpar ou nenhuma das duas, pois isso pode simplificar nossos cálculos.

Passo 4

Vamos verificar se a função f(-x) = (-x) + 1 = -x + 1 é par, ímpar ou nenhuma. Uma função é par se f(x) = 1 - x e ímpar se f(-x) = -x + 1 neq f(x) = 1 - x .
Para f(-x) = -f(x) :
Para :
Comparando com :
Portanto, a função é ímpar.

Passo 5

Como a função é ímpar, todos os coeficientes f(x) = sumn=1^infty bn sin(n omega0 x) serão zero. Isso simplifica a Série de Fourier para:
Agora, precisamos calcular os coeficientes .

Passo 6

Os coeficientes bn = 2L integral0^L f(x) sin(n pi xL) dx para funções ímpares são calculados pela fórmula:
bn = 2 integral0^1 f(x) sin(n pi x) dx
Como , a fórmula simplifica para:

Passo 7

Vamos substituir bn = 2 integral0^1 (1 - x) sin(n pi x) dx na integral. Para , temos . Então:
Agora, precisamos resolver essa integral.

Passo 8

Vamos dividir a integral em duas partes:
bn = 2 [ integral0^1 sin(n pi x) dx - integral0^1 x sin(n pi x) dx ]
Vamos resolver cada integral separadamente.

Passo 9

Primeira integral:
integral0^1 sin(n pi x) dx = [ -cos(n pi x)n pi ]0^1 = -cos(n pi)n pi + cos(0)n pi = 1 - cos(n pi)n pi
Segunda integral (usando integração por partes):
integral x sin(n pi x) dx = -x cos(n pi x)n pi + 1n pi integral cos(n pi x) dx = -x cos(n pi x)n pi + sin(n pi x)(n pi)^2
Avaliada de 0 a 1:
[ -x cos(n pi x)n pi + sin(n pi x)(n pi)^2 ]0^1 = -cos(n pi)n pi + sin(n pi)(n pi)^2 - (0 + 0) = -cos(n pi)n pi

Passo 10

Agora, substituindo de volta nas expressões:
bn = 2 [ 1 - cos(n pi)n pi - ( -cos(n pi)n pi ) ] = 2 [ 1 - cos(n pi) + cos(n pi)n pi ] = 2n pi
Mas precisamos lembrar que , então o termo com desaparece.

Passo 11

Finalmente, os coeficientes bn = 2(1 - (-1)^n)n pi ficam:
Isso porque .

Resposta

A Série de Fourier da função f(x) = sumn=1^infty 2(1 - (-1)^n)n pi sin(n pi x) é dada por:

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