Encontre a série de Fourrier da função dada.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de Série de Fourier juntos! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função
definida por partes no intervalo
e que se repete a cada 2 unidades (
). Nosso objetivo é encontrar a Série de Fourier dessa função.
Para isso, vamos precisar entender alguns conceitos básicos sobre Séries de Fourier, que nos permitem representar funções periódicas como uma soma de senos e cossenos.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o período da função. A função se repete a cada 2 unidades, então o período
é 2. A frequência angular básica
é dada por:
onde
. Assim,
Passo 3
Agora, vamos lembrar que a Série de Fourier para uma função periódica par
pode ser escrita como:
Mas antes de calcular os coeficientes
e
, precisamos verificar se a função é par, ímpar ou nenhuma das duas, pois isso pode simplificar nossos cálculos.
Passo 4
Vamos verificar se a função
é par, ímpar ou nenhuma. Uma função é par se
e ímpar se
.
Para
:
Para
:
Comparando
com
:
Portanto, a função é ímpar.
Passo 5
Como a função é ímpar, todos os coeficientes
serão zero. Isso simplifica a Série de Fourier para:
Agora, precisamos calcular os coeficientes
.
Passo 6
Os coeficientes
para funções ímpares são calculados pela fórmula:
Como
, a fórmula simplifica para:
Passo 7
Vamos substituir
na integral. Para
, temos
. Então:
Agora, precisamos resolver essa integral.
Passo 8
Vamos dividir a integral em duas partes:
Vamos resolver cada integral separadamente.
Passo 9
Primeira integral:
Segunda integral (usando integração por partes):
Avaliada de 0 a 1:
Passo 10
Agora, substituindo de volta nas expressões:
Mas precisamos lembrar que
, então o termo com
desaparece.
Passo 11
Finalmente, os coeficientes
ficam:
Isso porque
.
Resposta
A Série de Fourier da função
é dada por: