Em cada item, determine o gradiente da função f no ponto P. Sugestão. Use o exercício anterior.
(f) f(x, y, z)=x y^2 arctg z, P=(2,1,1).

Passo 1

Temos a função e o ponto f(x,y,z)=x y^2 arctg z. O que queremos é o gradiente, ou seja, o vetor formado pelas derivadas parciais P=(2,1,1), partial f/partial x e partial f/partial y. Vamos usar a regra do produto e lembrar que .

Passo 2

Para calcular partial f/partial x, trate como constante em relação a y^2arctg z. Assim temos

Passo 3

Para partial f/partial y, considere x e constantes e use arctg z. Logo

Passo 4

Para partial f/partial z, trate x y^2 como constante e use . Assim
d(arctg z)/dz=1/(1+z^2)

Passo 5

Agora avaliamos cada componente em P=(2,1,1). Como , temos
arctg(1)=pi/4

Resposta

nabla f(2,1,1)=l(tfracpi4,pi,1r)

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