Em cada item, determine a derivada direcional da função f no ponto P na direção do vetor u. Sugestão. Use o exercício anterior.
(g) f(x, y, z)=arctg(x y z), P=(1,2,1), u=(1,1,1).

Passo 1

Temos a função f(x,y,z)=arctg(xyz). Para achar a derivada direcional em P=(1,2,1) na direção de u=(1,1,1) a gente vai precisar do gradiente de f e do vetor unitário u. A derivada direcional é dada por Duf(P)=nabla f(P)cdotu.

Passo 2

Para calcular o gradiente, usamos a regra da cadeia: se t=xyz, então nabla f=11+t^2nabla t e nabla t=(yz,;xz,;xy). Logo,
nabla f(x,y,z)=(yz,;xz,;xy)1+(xyz)^2

Passo 3

Avalia em P=(1,2,1): aí xyz=1cdot2cdot1=2, então 1+(xyz)^2=5, e nabla f(P)=(2,1,2)5

Passo 4

O vetor direção é u=(1,1,1). Seu módulo é |u|=raiz1^2+1^2+1^2=raiz3. Então o vetor unitário é u=(1,1,1)raiz3.

Passo 5

Finalmente, a derivada direcional é o produto escalar
Duf(P)=nabla f(P)cdotu=(2,1,2)5cdot(1,1,1)raiz3=2+1+25raiz3=1raiz3

Resposta

1/raiz3

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