Encontre a série de Fourrier da função dada.
(d) f(x)=lx+L, se ,-L <= x <= 0 L, se, 0 <= x <= L, f(x+2 L)=f(x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a série de Fourier da função dada. A função $ f(x) $ é definida de forma diferente em dois intervalos dentro de um período $ 2L $:
f(x)
Vamos precisar usar os conceitos de série de Fourier, que nos permite representar funções periódicas como uma soma de funções senoidais e cossenoidais.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar o coeficiente $ a_0 $, que representa a média da função no intervalo considerado. A fórmula para $ a_0 $ é:
a0
Vamos calcular essa integral dividindo-a nos dois intervalos onde a função é definida de forma diferente.

Passo 3

Calculando $ a_0 $:
a0
Primeiro, resolvemos a integral de $ x + L $:
a0 = 1L ( integral-L^0 (x + L) , dx + integral0^L L , dx )
Agora, a integral de $ L $:
x + L
Somando as duas partes:
integral-L^0 (x + L) , dx = [ x^22 + Lx ]-L^0 = (0 + 0) - ( L^22 - L^2 ) = L^22

Passo 4

Agora, vamos calcular os coeficientes $ a_n $ (para os termos de cosseno) e $ b_n $ (para os termos de seno). As fórmulas são:
an
bn
Vamos calcular $ a_n $ primeiro, dividindo a integral nos dois intervalos.
Para $ a_n $:
an = 1L integral-L^L f(x) cos(npi xL) dx
Essas integrais podem ser resolvidas por partes ou usando tabelas de integrais. Após resolver, você encontrará que $ a_n $ será igual a zero devido à simetria da função.
Para $ b_n $:
bn = 1L integral-L^L f(x) sin(npi xL) dx
Resolvendo essas integrais, obtemos:
an

Passo 5

Com os coeficientes $ a_0 $, $ a_n $ e $ b_n $ determinados, podemos montar a série de Fourier da função $ f(x) $:
a0
Substituindo os valores que encontramos:
an
Simplificando:
bn

Resposta

A série de Fourier da função $ f(x) $ é dada por:
f(x)

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