Encontre a série de Fourrier da função dada.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a série de Fourier da função dada. A função $ f(x) $ é definida de forma diferente em dois intervalos dentro de um período $ 2L $:
Vamos precisar usar os conceitos de série de Fourier, que nos permite representar funções periódicas como uma soma de funções senoidais e cossenoidais.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar o coeficiente $ a_0 $, que representa a média da função no intervalo considerado. A fórmula para $ a_0 $ é:
Vamos calcular essa integral dividindo-a nos dois intervalos onde a função é definida de forma diferente.
Passo 3
Calculando $ a_0 $:
Primeiro, resolvemos a integral de $ x + L $:
Agora, a integral de $ L $:
Somando as duas partes:
Passo 4
Agora, vamos calcular os coeficientes $ a_n $ (para os termos de cosseno) e $ b_n $ (para os termos de seno). As fórmulas são:
Vamos calcular $ a_n $ primeiro, dividindo a integral nos dois intervalos.
Para $ a_n $:
Essas integrais podem ser resolvidas por partes ou usando tabelas de integrais. Após resolver, você encontrará que $ a_n $ será igual a zero devido à simetria da função.
Para $ b_n $:
Resolvendo essas integrais, obtemos:
Passo 5
Com os coeficientes $ a_0 $, $ a_n $ e $ b_n $ determinados, podemos montar a série de Fourier da função $ f(x) $:
Substituindo os valores que encontramos:
Simplificando:
Resposta
A série de Fourier da função $ f(x) $ é dada por: