Determine as seguintes derivadas
e) y=t(ln t)^2
Resposta: y^prime=(l n t)^2+2 l n t

Passo 1

O exercício pede para derivar a função $y = t (\ln t)^2$. O conteúdo é aplicação da regra do produto e da regra da cadeia para derivadas.

Passo 2

Aplicamos a regra do produto: se $y = u ,v$, então $y’ = u’v + uv’$. Aqui $u(t)=t$ e $v(t)=(\ln t)^2$.

Passo 3

Calculamos $u’(t)$: como $u(t)=t$, temos
$ u'(t)

Passo 4

Agora calculamos $v’(t)$. Usamos a regra da cadeia: se $v=(g(t))^2$ com $g(t)=\ln t$, então
$ v'(t)

Passo 5

Substituímos em $y’ = u’v + uv’$:
$ y' = u'v + uv'

Passo 6

Simplificamos o segundo termo: $t\times (2\,\ln t\,/t)=2\,\ln t$. Então
$$y

Passo 7

=(\ln t)^2 + 2\,\ln t.$$

Resposta

y'=(ln t)^2 + 2,ln t

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