Determine as seguintes derivadas
e)
Resposta:
e)
Resposta:
Passo 1
O exercício pede para derivar a função $y = t (\ln t)^2$. O conteúdo é aplicação da regra do produto e da regra da cadeia para derivadas.
Passo 2
Aplicamos a regra do produto: se $y = u ,v$, então $y’ = u’v + uv’$. Aqui $u(t)=t$ e $v(t)=(\ln t)^2$.
Passo 3
Calculamos $u’(t)$: como $u(t)=t$, temos
$
Passo 4
Agora calculamos $v’(t)$. Usamos a regra da cadeia: se $v=(g(t))^2$ com $g(t)=\ln t$, então
$
Passo 5
Substituímos em $y’ = u’v + uv’$:
$
Passo 6
Simplificamos o segundo termo: $t\times (2\,\ln t\,/t)=2\,\ln t$. Então
$$y
Passo 7
=(\ln t)^2 + 2\,\ln t.$$