Em cada item, determine a derivada direcional da função f no ponto P na direção do vetor u. Sugestão. Use o exercício anterior.
(d) f(x, y)=4 y raizx, P=(4,1), u=(1,-1).

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de f(x,y)=4yraizx no ponto P=(4,1) na direção de vec u=(1,-1). Vamos usar o conceito de derivada direcional via gradiente.

Passo 2

Precisamos calcular o gradiente de f. Primeiramente, derivamos f em relação a x e a y:
fx(x,y)=partialpartial xl(4yraizxr)=4ycdot12raizx=2yraizx,
$$f_y(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(4y\sqrt{x}\bigr)=4\sqrt{x}.
$$

Passo 3

Agora avaliamos o gradiente em P=(4,1):
fx(4,1)=2cdot1raiz4=22=1,
$$f_y(4,1)=4\sqrt{4}=4\cdot2=8.
$$
Logo, fy(4,1)=4raiz4=4cdot2=8 .

Passo 4

Precisamos do vetor unitário na direção de vec u=(1,-1). Seu comprimento é lVertvec urVert=raiz1^2+(-1)^2=raiz2, então
$$\hat u=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,-1).
$$

Passo 5

A derivada direcional é o produto escalar entre nabla f(4,1) e hat u:
$$D_{\hat u}f(4,1)=\nabla f(4,1)\cdot\hat u=(1,8)\cdot\Bigl(\tfrac{1}{\sqrt2},-\tfrac{1}{\sqrt2}\Bigr)=\frac{1-8}{\sqrt2}=-\tfrac{7}{\sqrt2}.
$$

Resposta

-tfrac7raiz2

Exercícios relacionados