Em cada item, determine a derivada direcional da função
no ponto
na direção do vetor
. Sugestão. Use o exercício anterior.
(d)
.
(d)
Passo 1
O enunciado pede a derivada direcional de
no ponto
na direção de
. Vamos usar o conceito de derivada direcional via gradiente.
Passo 2
Precisamos calcular o gradiente de
. Primeiramente, derivamos
em relação a
e a
:
$$f_y(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(4y\sqrt{x}\bigr)=4\sqrt{x}.
$$
Passo 3
Agora avaliamos o gradiente em
:
$$f_y(4,1)=4\sqrt{4}=4\cdot2=8.
$$
Logo, .
Logo,
Passo 4
Precisamos do vetor unitário na direção de
. Seu comprimento é
, então
$$\hat u=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,-1).
$$
Passo 5
A derivada direcional é o produto escalar entre
e
:
$$D_{\hat u}f(4,1)=\nabla f(4,1)\cdot\hat u=(1,8)\cdot\Bigl(\tfrac{1}{\sqrt2},-\tfrac{1}{\sqrt2}\Bigr)=\frac{1-8}{\sqrt2}=-\tfrac{7}{\sqrt2}.
$$