Em cada item, determine o gradiente da função f.
(g) f(x, y, z)=x e^y+y e^z+z e^x.

Passo 1

O enunciado pede o gradiente de f(x,y,z)=x e^y+y e^z+z e^x. Esse conteúdo envolve derivadas parciais de funções de várias variáveis e o conceito de vetor gradiente, que reúne essas derivadas parciais em cada direção.

Passo 2

Para obter partial fpartial x, tratamos y e z como constantes. Aplicando a regra do produto e a derivada de exponenciais, temos: primeiro termo x e^y e^y, segundo termo y e^z é zero, terceiro termo z e^x z e^x. Logo, partial fpartial x=e^y+z e^x.

Passo 3

Para partial fpartial y, tratamos x e z como constantes. O termo x e^y x e^y, y e^z e^z, e z e^x é zero. Assim, partial fpartial y=x e^y+e^z.

Passo 4

Para partial fpartial z, tratamos x e y como constantes. O termo x e^y é zero, y e^z y e^z, e z e^x e^x. Portanto, partial fpartial z=y e^z+e^x.

Passo 5

Por fim, reunimos as componentes parciais para escrever o vetor gradiente nabla f=(partial fpartial x,partial fpartial y,partial fpartial z).

Resposta

nabla f(x,y,z)=l(e^y+z e^x,;x e^y+e^z,;y e^z+e^xr)

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