Utilize Transformada de Fourier para encontrar uma expressão explicita para
, onde
(Sug.: convolução)
(Sug.: convolução)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar uma expressão explícita para $ h(x) $, que é definida por uma integral envolvendo funções racionais. Vamos usar a Transformada de Fourier e o conceito de convolução para chegar lá. Basicamente, a matéria aqui é sobre transformadas integrais e como elas podem simplificar integrais complicadas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que $ h(x) $ pode ser interpretada como a convolução de duas funções. A convolução de $ f(y) $ e $ g(y) $ é definida por:
No nosso caso, temos:
Então, identificamos:
Passo 3
Agora, vamos aplicar a Transformada de Fourier. Sabemos que a transformada da convolução de duas funções é igual ao produto das transformadas de cada função. Ou seja:
Vamos calcular $ \mathcal{F}{f} $ e $ \mathcal{F}{g} $ separadamente.
Passo 4
Primeiro, calculemos $ \mathcal{F}{f(y)} = \mathcal{F}\left{\frac{1}{4 + y^2}\right} $. Sabemos que:
Aqui, $ a = 2 $, então:
Passo 5
Agora, vamos calcular $ \mathcal{F}{g(y)} = \mathcal{F}\left{\frac{1}{(1 + y2)2}\right} $. Usamos uma tabela de transformadas ou propriedades conhecidas, e temos:
Passo 6
Agora que temos as transformadas individuais, multiplicamos elas para obter $ \mathcal{F}{h(x)} $:
Passo 7
Agora, precisamos encontrar $ h(x) $ aplicando a Transformada de Fourier inversa. Ou seja:
Usando a linearidade da transformada inversa e conhecendo transformadas de funções como $ |w| e^{-a |w|} $, chegamos a:
Simplificando: