Utilize Transformada de Fourier para encontrar uma expressão explicita para h(x), onde h(x)=integral-infty^+infty 1(4+(x-y)^2)(1+y^2)^2 d y
(Sug.: convolução)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar uma expressão explícita para $ h(x) $, que é definida por uma integral envolvendo funções racionais. Vamos usar a Transformada de Fourier e o conceito de convolução para chegar lá. Basicamente, a matéria aqui é sobre transformadas integrais e como elas podem simplificar integrais complicadas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que $ h(x) $ pode ser interpretada como a convolução de duas funções. A convolução de $ f(y) $ e $ g(y) $ é definida por:
h(x)
No nosso caso, temos:
f(y)
Então, identificamos:
g(y)

Passo 3

Agora, vamos aplicar a Transformada de Fourier. Sabemos que a transformada da convolução de duas funções é igual ao produto das transformadas de cada função. Ou seja:
Fh(x) = Ff * g = Ff cdot Fg
Vamos calcular $ \mathcal{F}{f} $ e $ \mathcal{F}{g} $ separadamente.

Passo 4

Primeiro, calculemos $ \mathcal{F}{f(y)} = \mathcal{F}\left{\frac{1}{4 + y^2}\right} $. Sabemos que:
Ff(y) = F14 + y^2
Aqui, $ a = 2 $, então:
F1a^2 + y^2 = pia e^-a |w|

Passo 5

Agora, vamos calcular $ \mathcal{F}{g(y)} = \mathcal{F}\left{\frac{1}{(1 + y2)2}\right} $. Usamos uma tabela de transformadas ou propriedades conhecidas, e temos:
Fg(y) = F1(1 + y^2)^2

Passo 6

Agora que temos as transformadas individuais, multiplicamos elas para obter $ \mathcal{F}{h(x)} $:
Fh(x)

Passo 7

Agora, precisamos encontrar $ h(x) $ aplicando a Transformada de Fourier inversa. Ou seja:
h(x)
Usando a linearidade da transformada inversa e conhecendo transformadas de funções como $ |w| e^{-a |w|} $, chegamos a:
h(x) = F^-1pi^24 (|w| + 1) e^-3 |w|
Simplificando:
|w| e^-a |w|

Resposta

h(x) = pi^254 (1 + 3,|x|,) e^-3,|x|

Exercícios relacionados