Considere a função f(x, y, z)=x^22^2-y^23^2+z^2.
(b) Determine uma equação para plano tangente à superfície de nível do item (a) no ponto P= (-2,-3,1).

Passo 1

O enunciado pede o plano tangente à superfície de nível definida por f(x,y,z)=x^22^2-y^23^2+z^2=c no ponto P=(-2,-3,1). Vamos usar o gradiente de f que é perpendicular à superfície de nível.

Passo 2

Primeiro, determinamos o valor de c avaliando f em P:
f(-2,-3,1)=(-2)^24-(-3)^29+1^2=1-1+1=1
Logo, a superfície de nível é f(x,y,z)=1.

Passo 3

Em seguida, calculamos o gradiente:
nabla f(x,y,z)=l(partial fpartial x,,partial fpartial y,,partial fpartial zr) =l(x2,,-2y9,,2zr)
Avaliaremos em P:
nabla f(-2,-3,1)=l(-1,,23,,2r)

Passo 4

O plano tangente à superfície de nível f=1 em P satisfaz
nabla f(P)cdot((x,y,z)-P)=0
Substituindo nabla f(P)=(-1,tfrac23,2) e P=(-2,-3,1), temos
-1(x+2)+23(y+3)+2(z-1)=0
Podemos simplificar multiplicando por 3:
-3(x+2)+2(y+3)+6(z-1)=0
ou ainda
3x-2y-6z+6=0

Resposta

3x-2y-6z+6=0

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