Em cada item, determine a derivada direcional da função
no ponto
na direção do vetor
. Sugestão. Use o exercício anterior.
(j)
.
(j)
Passo 1
Resumo do enunciado: queremos achar a derivada direcional de
no ponto
na direção do vetor
. O conteúdo aqui é derivada direcional, que usa o gradiente e o vetor unitário na direção dada.
Passo 2
Primeiro, calculamos o gradiente de
. Usando
, temos as derivadas parciais:
$$f_x=\frac{\partial}{\partial x}\Bigl(\frac{x}{x+z}\Bigr)=\frac{z}{(x+z)^2},\quad f_y=0,\quad f_z=\frac{\partial}{\partial z}\Bigl(\frac{x}{x+z}\Bigr)=-\frac{x}{(x+z)^2}.
$$
Passo 3
Em seguida, avaliamos o gradiente em
. Como
, obtemos:
$$f_x§=\frac{3}{11^2}=\frac{3}{121},\quad f_y§=0,\quad f_z§=-\frac{8}{121}.
$$
Passo 4
Agora precisamos do vetor unitário na direção de
. Seu módulo é
, logo
$$\hat u=\frac{1}{\sqrt3}(1,1,-1).
$$
Passo 5
Por fim, a derivada direcional é o produto escalar do gradiente em
com
:
$$D_{\hat u}f§=\nabla f§\cdot\hat u=\Bigl(\frac{3}{121},0,-\frac{8}{121}\Bigr)\cdot\frac{1}{\sqrt3}(1,1,-1)=\frac{3+8}{121\sqrt3}=\frac{11}{121\sqrt3}=\frac{1}{11\sqrt3}.
$$