Em cada item, determine a derivada direcional da função f no ponto P na direção do vetor u. Sugestão. Use o exercício anterior.
(j) f(x, y, z)=xx+z, P=(8,1,3), u=(1,1,-1).

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos achar a derivada direcional de f(x,y,z)=xx+z no ponto P=(8,1,3) na direção do vetor vec u=(1,1,-1). O conteúdo aqui é derivada direcional, que usa o gradiente e o vetor unitário na direção dada.

Passo 2

Primeiro, calculamos o gradiente de f. Usando f(x,y,z)=x,(x+z)^-1, temos as derivadas parciais:
$$f_x=\frac{\partial}{\partial x}\Bigl(\frac{x}{x+z}\Bigr)=\frac{z}{(x+z)^2},\quad f_y=0,\quad f_z=\frac{\partial}{\partial z}\Bigl(\frac{x}{x+z}\Bigr)=-\frac{x}{(x+z)^2}.
$$

Passo 3

Em seguida, avaliamos o gradiente em P=(8,1,3). Como x+z=8+3=11, obtemos:
$$f_x§=\frac{3}{11^2}=\frac{3}{121},\quad f_y§=0,\quad f_z§=-\frac{8}{121}.
$$

Passo 4

Agora precisamos do vetor unitário na direção de vec u=(1,1,-1). Seu módulo é |vec u|=raiz1^2+1^2+(-1)^2=raiz3, logo
$$\hat u=\frac{1}{\sqrt3}(1,1,-1).
$$

Passo 5

Por fim, a derivada direcional é o produto escalar do gradiente em P com hat u:
$$D_{\hat u}f§=\nabla f§\cdot\hat u=\Bigl(\frac{3}{121},0,-\frac{8}{121}\Bigr)\cdot\frac{1}{\sqrt3}(1,1,-1)=\frac{3+8}{121\sqrt3}=\frac{11}{121\sqrt3}=\frac{1}{11\sqrt3}.
$$

Resposta

Dvec uf(P)=111raiz3

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