Em cada item, determine a derivada direcional da função f no ponto P na direção do vetor u. Sugestão. Use o exercício anterior.
(a) f(x, y)=arctg(x y), P=(1,2), u=(5,10).

Passo 1

A questão pede a derivada direcional de f(x,y)=\operatorname{arctg}(x y) no ponto P=(1,2) na direção do vetor u=(5,10). O conteúdo envolvido é derivada direcional e vamos precisar do gradiente de f e de transformar u em vetor unitário.

Passo 2

Para achar o gradiente de f, lembramos que se f(x,y)=\operatorname{arctg}(t) com t=xy, então a derivada de \operatorname{arctg}(t) é 1/(1+t^2). Aplicando a regra da cadeia,
$$f_x(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(\operatorname{arctg}(xy)\bigr)=\frac{1}{1+(xy)^2}\cdot y,\
f_y(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(\operatorname{arctg}(xy)\bigr)=\frac{1}{1+(xy)^2}\cdot x.$$

Passo 3

Agora avaliamos essas derivadas parciais em P=(1,2). Como xy=1\cdot2=2, temos 1+(xy)^2=1+4=5, então
$$f_x(1,2)=\frac{2}{5},\quad f_y(1,2)=\frac{1}{5}.
$$

Passo 4

Precisamos também do vetor unitário na direção de u. Primeiro calculamos a norma de u:
$$|u|=\sqrt{52+102}=\sqrt{25+100}=\sqrt{125}=5\sqrt{5}.
$$

Passo 5

Logo o vetor unitário é
$$\hat u=\frac{1}{5\sqrt{5}}(5,10)=\bigl(\tfrac{1}{\sqrt{5}},\tfrac{2}{\sqrt{5}}\bigr).
$$

Passo 6

A derivada direcional de f em P na direção de \hat u é o produto escalar ∇f§·\hat u:
Dhat uf(1,2)=fx(1,2) & fy(1,2)cdot1/raiz52/raiz5 =25cdot1raiz5+15cdot2raiz5=45raiz5

Resposta

A derivada direcional é Dhat uf(1,2)=45raiz5, que também pode ser escrita como 4raiz525.

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