Em cada item, determine o gradiente da função f no ponto P. Sugestão. Use o exercício anterior.
(a) f(x, y)=arctg(x y), P=(1,2).

Passo 1

A questão pede o gradiente de f(x,y)=arctan(xy) no ponto P=(1,2). Vamos usar derivadas parciais e a regra da cadeia para funções compostas.

Passo 2

Definimos u(x,y)=xy. Como f(u)=arctan(u) tem derivada f'(u)=11+u^2, aplicando a regra da cadeia obtemos:
partial fpartial x=11+(xy)^2cdotpartial(xy)partial x=y1+(xy)^2,
partial fpartial y=11+(xy)^2cdotpartial(xy)partial y=x1+(xy)^2

Passo 3

Agora avaliamos em P=(1,2): substituindo x=1 e y=2 em cada derivada:
partial fpartial x(1,2)=21+4=25,
partial fpartial y(1,2)=11+4=15

Passo 4

Portanto, o gradiente no ponto P é dado por:
nabla f(1,2)=(25,15)

Resposta

nabla f(1,2)=(25,15)

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