Em cada item, determine a derivada direcional da função f no ponto P na direção do vetor u. Sugestão. Use o exercício anterior.
(h) f(x, y, z)=x+yz, P=(1,1,-1), u=(1,2,-2).

Passo 1

A função é f(x,y,z) = \frac{x+y}{z}, o ponto P = (1,1,-1) e a direção é dada por \vec u = (1,2,-2). Vamos usar que a derivada direcional em P na direção de \vec u é D_{\vec u}f§=∇f§·\hat u, ou seja, precisamos achar o gradiente de f e normalizar o vetor \vec u.

Passo 2

Para obter o gradiente, computamos as derivadas parciais. Temos
partial fpartial x=1z, partial fpartial y=1z, partial fpartial z=-x+yz^2
Logo,
∇f(x,y,z)=l(1z,,1z,,-x+yz^2r)

Passo 3

Agora avaliamos o gradiente em P=(1,1,-1). Como z=-1 e x+y=2, temos
∇f(1,1,-1)=l(1-1,,1-1,,-2(-1)^2r)=(-1,,-1,,-2)

Passo 4

Precisamos do vetor unitário na direção de \vec u. O módulo de \vec u=(1,2,-2) é
|vec u|=raiz1^2+2^2+(-2)^2=3,
então
hat u=13(1,2,-2)

Passo 5

Por fim, fazemos o produto escalar
Dvec uf(P)=∇f(P)cdothat u=(-1)13+(-1)23+(-2)l(-23r)=13

Resposta

13

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