Em cada item, determine o gradiente da função
no ponto
. Sugestão. Use o exercício anterior.
(h)
.
(h)
Passo 1
O enunciado pede para calcular o gradiente de f(x,y,z)=\frac{x+y}{z} no ponto P=(1,1,-1). O tópico aqui é derivadas parciais e gradiente, e vamos usar a definição de derivada de um quociente (ou tratar z como potência negativa) para achar cada componente.
Passo 2
Escrevemos a função como f(x,y,z)=(x+y),z^{-1}. Para a derivada parcial em relação a x, mantemos y e z constantes e obtemos:
. De modo análogo, para y:
.
Passo 3
Agora derivamos em relação a z, tratando x e y como constantes. Aplicando a regra da potência:
Passo 4
Chegou a hora de avaliar cada derivada no ponto P=(1,1,-1). Substituindo x=1, y=1, z=-1:
,
e
.
Resposta
O gradiente em P é
.