Em cada item, determine o gradiente da função f no ponto P. Sugestão. Use o exercício anterior.
(h) f(x, y, z)=x+yz, P=(1,1,-1).

Passo 1

O enunciado pede para calcular o gradiente de f(x,y,z)=\frac{x+y}{z} no ponto P=(1,1,-1). O tópico aqui é derivadas parciais e gradiente, e vamos usar a definição de derivada de um quociente (ou tratar z como potência negativa) para achar cada componente.

Passo 2

Escrevemos a função como f(x,y,z)=(x+y),z^{-1}. Para a derivada parcial em relação a x, mantemos y e z constantes e obtemos: partial fpartial x=z^-1=1z. De modo análogo, para y: partial fpartial y=1z.

Passo 3

Agora derivamos em relação a z, tratando x e y como constantes. Aplicando a regra da potência: partial fpartial z=(x+y),(-1),z^-2=-x+yz^2

Passo 4

Chegou a hora de avaliar cada derivada no ponto P=(1,1,-1). Substituindo x=1, y=1, z=-1: partial fpartial x(P)=1-1=-1, partial fpartial y(P)=-1 e partial fpartial z(P)=-1+1(-1)^2=-2.

Resposta

O gradiente em P é nabla f(1,1,-1)=(-1,,-1,,-2).

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