Nos Exercícios de 1 a 12, determine os extremos relativos de f, se existirem.
f(x, y)=e^x y

Passo 1

Então, a gente tem um exercício onde precisamos encontrar os extremos relativos da função $ f(x, y) = e^{x y} $. Isso faz parte do estudo de cálculo multivariável, onde a gente usa derivadas parciais para achar pontos de máximo e mínimo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a $ x $ e $ y $. As derivadas parciais nos ajudam a entender como a função muda quando variamos apenas uma das variáveis.
A derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $ é:
x
E a derivada parcial em relação a $ y $ é:
y

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, onde as derivadas parciais igualam a zero. Isso nos dá as possíveis posições de extremos relativos.
Então, resolvemos:
fx = y e^x y = 0
fy = x e^x y = 0
Como $ e^{x y} $ nunca é zero, basta resolver:
e^x y
Portanto, o único ponto crítico é $ (0, 0) $.

Passo 4

Para determinar se esse ponto é máximo, mínimo ou ponto de sela, usamos o teste da segunda derivada. Precisamos calcular as segundas derivadas parciais:
fxx = partial^2 fpartial x^2 = y^2 e^x y
fyy = partial^2 fpartial y^2 = x^2 e^x y
fxy = partial^2 fpartial x partial y = e^x y + x y e^x y
No ponto $ (0, 0) $:
(0, 0)
fxx(0, 0) = 0
fyy(0, 0) = 0
Calculamos o discriminante $ D $:
fxy(0, 0) = 1
Como $ D < 0 $, isso indica que o ponto $ (0, 0) $ é um ponto de sela, ou seja, não é nem máximo nem mínimo relativo.

Resposta

A função $ f(x, y) = e^{x y} $ não possui extremos relativos, pois o único ponto crítico $ (0, 0) $ é um ponto de sela.

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