Nos Exercícios de 1 a 12, determine os extremos relativos de
, se existirem.
Passo 1
Então, a gente tem um exercício onde precisamos encontrar os extremos relativos da função $ f(x, y) = e^{x y} $. Isso faz parte do estudo de cálculo multivariável, onde a gente usa derivadas parciais para achar pontos de máximo e mínimo.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a $ x $ e $ y $. As derivadas parciais nos ajudam a entender como a função muda quando variamos apenas uma das variáveis.
A derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $ é:
E a derivada parcial em relação a $ y $ é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, onde as derivadas parciais igualam a zero. Isso nos dá as possíveis posições de extremos relativos.
Então, resolvemos:
Como $ e^{x y} $ nunca é zero, basta resolver:
Portanto, o único ponto crítico é $ (0, 0) $.
Passo 4
Para determinar se esse ponto é máximo, mínimo ou ponto de sela, usamos o teste da segunda derivada. Precisamos calcular as segundas derivadas parciais:
No ponto $ (0, 0) $:
Calculamos o discriminante $ D $:
Como $ D < 0 $, isso indica que o ponto $ (0, 0) $ é um ponto de sela, ou seja, não é nem máximo nem mínimo relativo.
Resposta
A função $ f(x, y) = e^{x y} $ não possui extremos relativos, pois o único ponto crítico $ (0, 0) $ é um ponto de sela.