Em cada item, determine a derivada da função dada.
f(x)=x+12 x^2+2 x+3

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de f(x) = x+12x^2 + 2x + 3. O conteúdo envolve derivada de quociente, então vamos usar a regra do quociente para resolver.

Passo 2

Definimos u(x) = x + 1 e v(x) = 2x^2 + 2x + 3. Como derivada de polinômio é feita termo a termo, temos: u'(x) = 1 e v'(x) = 4x + 2.

Passo 3

A regra do quociente diz que, para f(x) = u(x)v(x), a derivada é dada por:
f'(x) = u'(x) cdot v(x) ; - ; u(x) cdot v'(x)[v(x)]^2
Substituindo u, u', v e v' na fórmula acima, obtemos:
f'(x) = 1 cdot (2x^2 + 2x + 3) ; - ; (x + 1) cdot (4x + 2)(2x^2 + 2x + 3)^2

Passo 4

Para simplificar o numerador, primeiro expandimos:
(x + 1)(4x + 2) = 4x^2 + 6x + 2
Então:
2x^2 + 2x + 3 ; - ; (4x^2 + 6x + 2) = -2x^2 - 4x + 1
O denominador permanece (2x^2 + 2x + 3)^2, vindo da regra do quociente.

Resposta

-2x^2 - 4x + 1(2x^2 + 2x + 3)^2

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