Determine os pontos máximos e mínimos da seguinte função.
f(x)=-10+6 x^2-x^3

Passo 1

A questão pede para encontrar os pontos máximos e mínimos da função f(x)=−10+6x²−x³. O conteúdo envolvido é cálculo de derivadas para achar pontos críticos e usar o teste da segunda derivada para classificar cada ponto.

Passo 2

Primeiro vamos calcular a derivada de f. Lembrando que a derivada de xⁿ é n·xⁿ⁻¹, temos:
f′(x)=d/dx[−10]+d/dx[6x²]−d/dx[x³]
f′(x)=0+12x−3x²

Passo 3

Para achar os pontos críticos, resolvemos f′(x)=0:
12x−3x²=0
3x(4−x)=0
Isso dá x=0 ou x=4.

Passo 4

Agora usamos a segunda derivada para ver se é máximo ou mínimo. Vamos derivar f′(x):
f″(x)=d/dx[12x−3x²]
f″(x)=12−6x

Passo 5

Avalia em x=0: f″(0)=12−0=12>0, então em x=0 temos mínimo.
Avalia em x=4: f″(4)=12−24=−12<0, então em x=4 temos máximo.

Passo 6

Por fim, calculamos os valores de f nesses pontos:
f(0)=−10+6·0−0=−10
f(4)=−10+6·16−64=−10+96−64=22

Resposta

O ponto mínimo é (0, −10) e o ponto máximo é (4, 22).

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