Determine os pontos máximos e mínimos da seguinte função.
Passo 1
A questão pede para encontrar os pontos máximos e mínimos da função f(x)=−10+6x²−x³. O conteúdo envolvido é cálculo de derivadas para achar pontos críticos e usar o teste da segunda derivada para classificar cada ponto.
Passo 2
Primeiro vamos calcular a derivada de f. Lembrando que a derivada de xⁿ é n·xⁿ⁻¹, temos:
f′(x)=d/dx[−10]+d/dx[6x²]−d/dx[x³]
f′(x)=0+12x−3x²
f′(x)=d/dx[−10]+d/dx[6x²]−d/dx[x³]
f′(x)=0+12x−3x²
Passo 3
Para achar os pontos críticos, resolvemos f′(x)=0:
12x−3x²=0
3x(4−x)=0
Isso dá x=0 ou x=4.
12x−3x²=0
3x(4−x)=0
Isso dá x=0 ou x=4.
Passo 4
Agora usamos a segunda derivada para ver se é máximo ou mínimo. Vamos derivar f′(x):
f″(x)=d/dx[12x−3x²]
f″(x)=12−6x
f″(x)=d/dx[12x−3x²]
f″(x)=12−6x
Passo 5
Avalia em x=0: f″(0)=12−0=12>0, então em x=0 temos mínimo.
Avalia em x=4: f″(4)=12−24=−12<0, então em x=4 temos máximo.
Avalia em x=4: f″(4)=12−24=−12<0, então em x=4 temos máximo.
Passo 6
Por fim, calculamos os valores de f nesses pontos:
f(0)=−10+6·0−0=−10
f(4)=−10+6·16−64=−10+96−64=22
f(0)=−10+6·0−0=−10
f(4)=−10+6·16−64=−10+96−64=22
Resposta
O ponto mínimo é (0, −10) e o ponto máximo é (4, 22).