Determine os pontos máximos e mínimos da seguinte função.
f(x)=3 x^4-4 x^3

Passo 1

Então, galera, temos uma função $ f(x) = 3x^{4} - 4x^{3} $ e precisamos encontrar os pontos onde ela atinge valores máximos ou mínimos, ou seja, os seus pontos extremos. Para resolver isso, vamos usar o cálculo diferencial, especificamente a derivada da função, que nos ajuda a entender como a função está se comportando em relação a $ x $.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a primeira derivada da função $ f(x) $. A derivada nos dá a taxa de variação da função em cada ponto $ x $. Aplicando as regras de derivação:
f(x)

Passo 3

Agora que temos a primeira derivada $ f’(x) = 12x^{3} - 12x^{2} $, queremos encontrar os pontos críticos, ou seja, os valores de $ x $ onde a derivada é igual a zero ou não existe. Esses pontos são candidatos a serem máximos ou mínimos.
f'(x) = 12x^3 - 12x^2

Passo 4

Vamos resolver a equação $ 12x^{3} - 12x^{2} = 0 $. Podemos fatorar:
12x^3 - 12x^2 = 0
Isso nos dá duas soluções:
12x^2(x - 1) = 0
12x^2 = 0 Rightarrow x = 0
Então, os pontos críticos são $ x = 0 $ e $ x = 1 $.

Passo 5

Para determinar se esses pontos críticos são máximos ou mínimos, podemos usar o teste da segunda derivada. Primeiro, vamos encontrar a segunda derivada de $ f(x) $:
f(x)

Passo 6

Agora, avaliamos a segunda derivada nos pontos críticos $ x = 0 $ e $ x = 1 $:
Para $ x = 0 $:
x = 0
Como a segunda derivada é zero, o teste é inconclusivo. Vamos analisar a primeira derivada ao redor de $ x = 0 $:
  • Para $ x < 0 $, escolha $ x = -1 $:
    x = 1
  • Para $ x > 0 $, escolha $ x = 1 $:
    x = 0
Como a derivada não muda de sinal ao passar por $ x = 0 $, esse ponto não é um máximo ou mínimo.

Passo 7

Para $ x = 1 $:
x = 1
Como a segunda derivada é positiva, isso indica que a função é côncava para cima nesse ponto, ou seja, $ x = 1 $ é um ponto de mínimo local.

Resposta

A função $ f(x) = 3x^{4} - 4x^{3} $ possui um ponto de mínimo local em $ x = 1 $. Não há pontos de máximo local.

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