Em cada item, determine as derivadas parciais da função f.
(l) .
2
Em cada item, determine as derivadas parciais da função f(x, y, z)=x^3 y z^2+3 x^2 y^2 z^2-5 y^3 z^3 no ponto f. Sugestão. Utilize o exercício anterior.
(a) P.

Passo 1

A questão pede para calcular derivadas parciais de duas funções: primeiro uma função de três variáveis f(x,y,z)=x^3yz^2+3x^2y^2z^2-5y^3z^3; depois outra de duas variáveis f(x,y)=y^4+5xy^3, mas avaliando as parciais no ponto P=(1,2). Vamos usar a definição de derivada parcial, diferenciando em relação à variável de interesse e tratando as demais como constantes.

Passo 2

Para f(x,y,z)=x^3yz^2+3x^2y^2z^2-5y^3z^3, ao diferenciar em relação a x as parcelas que não contêm x viram zero e aplicamos a regra do poder:
partial fpartial x=3x^2yz^2+6xy^2z^2+0

Passo 3

Para a mesma função, ao diferenciar em relação a y tratamos x e z como constantes e aplicamos a regra do poder:
partial fpartial y=x^3z^2+6x^2yz^2-15y^2z^3

Passo 4

Ainda nessa função, ao diferenciar em relação a z usamos que z^2’ = 2z e z^3’ = 3z^{2}):
partial fpartial z=2x^3yz+6x^2y^2z-15y^3z^2

Passo 5

Para f(x,y)=y^4+5xy^3, as derivadas parciais gerais são:
partial fpartial x=5y^3, partial fpartial y=4y^3+15xy^2

Passo 6

Agora basta avaliar em P=(1,2):
partial fpartial x(1,2)=5cdot2^3=40
partial fpartial y(1,2)=4cdot2^3+15cdot1cdot2^2=32+60=92

Resposta

Para f(x,y,z)=x^3yz^2+3x^2y^2z^2-5y^3z^3:
partial fpartial x=3x^2yz^2+6xy^2z^2,
partial fpartial y=x^3z^2+6x^2yz^2-15y^2z^3,
partial fpartial z=2x^3yz+6x^2y^2z-15y^3z^2
Para f(x,y)=y^4+5xy^3 no ponto P=(1,2):
partial fpartial x(1,2)=40, partial fpartial y(1,2)=92

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