Encontre a derivada da função
f(x)=e^sen^2(x^2)

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos a derivada de f(x)=e^sin^2(x^2). O conteúdo principal aqui é derivada de uma função composta envolvendo exponencial e função trigonométrica, então vamos precisar usar a regra da cadeia algumas vezes.

Passo 2

Para aplicar a regra da cadeia na parte exponencial, reconheça que se f(x)=e^u(x), então f'(x)=e^u(x),u'(x). Aqui definimos
u(x)=sin^2(x^2)

Passo 3

Agora precisamos calcular u'(x). Note que u(x)=v(x)^2 com v(x)=sin(x^2). Usando derivada de potência composta, temos
ddxl(v(x)^2r)=2,v(x),v'(x)

Passo 4

Falta achar v'(x) para v(x)=sin(x^2). De novo regra da cadeia: se v(x)=sin(w(x)) então v'(x)=cos(w(x)),w'(x) e aqui w(x)=x^2, cujo w'(x)=2x. Logo
v'(x)=cos(x^2)cdot 2x

Passo 5

Substituindo de volta em u'(x)=2,v(x),v'(x), obtemos
u'(x)=2sin(x^2)l(2xcos(x^2)r)=4xsin(x^2)cos(x^2)

Passo 6

Finalmente, juntando tudo na derivada de f(x)=e^u(x), temos
f'(x)=e^u(x),u'(x)=e^sin^2(x^2)cdotl(4xsin(x^2)cos(x^2)r)

Passo 7

Se preferir, podemos usar a identidade 2sinalphacosalpha=sin(2alpha) com alpha=x^2 e escrever
f'(x)=2x,sinl(2x^2r),e^sin^2(x^2)

Resposta

f'(x)=4xsin(x^2)cos(x^2),e^sin^2(x^2) (ou equivalentemente f'(x)=2xsin(2x^2),e^sin^2(x^2)).

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