Em cada item, determine as derivadas parciais da função f.
(g) f(x, y)=y2 x+3 y.

Passo 1

Beleza! A gente tem que encontrar as derivadas parciais da função . Isso faz parte do conteúdo de cálculo diferencial, onde vamos usar regras de derivação, como a regra do quociente, para encontrar como a função muda em relação a cada uma das variáveis separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de ddx(uv) = v cdot dudx - u cdot dvdxv^2 em relação a dudx = 0 (porque y é constante) , que a gente denota por dvdx = 2 .
A derivada parcial em relação a partial fpartial x = (2x + 3y) cdot 0 - y cdot 2(2x + 3y)^2 = -2y(2x + 3y)^2 significa que a gente considera como uma constante enquanto deriva com respeito a .
A função pode ser vista como um quociente onde o numerador é e o denominador é . Para derivar isso, vamos usar a regra do quociente:
Aqui, e .
Primeiro, derivamos e em relação a :
é
Agora, aplicando a regra do quociente:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de dudy = 1 em relação a dvdy = 3 , denotada por partial fpartial y = (2x + 3y) cdot 1 - y cdot 3(2x + 3y)^2 = 2x + 3y - 3y(2x + 3y)^2 = 2x(2x + 3y)^2 .
Aqui, é considerado constante.
Usando novamente a regra do quociente para :
Derivamos e em relação a :
Aplicando a regra do quociente:

Resposta

As derivadas parciais da função partial fpartial x = -2y(2x + 3y)^2 são:
partial fpartial y = 2x(2x + 3y)^2

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