Em cada item, determine as derivadas parciais da função f no ponto P. Sugestão. Utilize o exercício anterior.
© f(x, y)=y^2 e^-x, P=(0,2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as derivadas parciais da função no ponto . Isso faz parte do conteúdo de cálculo de derivadas parciais, que nos permite entender como a função muda em relação a cada variável individualmente. Vamos precisar usar as regras básicas de derivação, especialmente para funções exponenciais e potências.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de partial fpartial x = y^2 cdot (-e^-x) = -y^2 e^-x em relação a , que a gente chama de . Para isso, tratamos como uma constante e derivamos em relação a .
A função é .
A derivada de em relação a é . Então:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de partial fpartial y = 2y cdot e^-x = 2y e^-x em relação a , ou seja, . Aqui, tratamos como uma constante e derivamos em relação a .
A função é .
A derivada de em relação a é . Então:

Passo 4

Agora que temos as expressões das derivadas parciais, vamos avaliá-las no ponto partial fpartial xg|(0,2) = -y^2 e^-x = - (2)^2 e^0 = -4 cdot 1 = -4 .
Primeiro, para partial fpartial yg|(0,2) = 2y e^-x = 2 cdot 2 cdot e^0 = 4 cdot 1 = 4 :
Segundo, para :

Resposta

As derivadas parciais da função partial fpartial xg|(0,2) = -4 no ponto partial fpartial yg|(0,2) = 4 são:

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