Calcule a integral dupla, invertendo a ordem de integração:
Resp.
Resp.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma integral dupla:
Estamos trabalhando com integração em duas variáveis,
e
. A matéria envolvida é cálculo integral, mais especificamente integração dupla. Para resolver, vamos precisar inverter a ordem de integração, ou seja, integrar primeiro em relação a
e depois em relação a
.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a área de integração. Originalmente,
varia de 0 a 1 e, para cada
,
varia de
a 2. Isso significa que a região de integração está entre a linha
e
, para
entre 0 e 1.
Passo 3
Para inverter a ordem de integração, precisamos reescrever os limites de integração. Vamos fixar
e ver como
varia para cada valor de
. Observando a linha
, podemos resolver para
:
.
Passo 4
Agora, determinamos os novos limites:
-
varia de 0 a 2. - Para cada
, varia de 0 a .
Então, a integral invertida fica:
Passo 5
Vamos resolver a integral interna, que é em relação a
:
Como
não depende de
, podemos tratá-lo como uma constante:
Passo 6
Substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Podemos tirar o fator
da integral:
Passo 7
Para resolver
, usamos uma substituição simples. Seja
, então
ou
. A integral fica:
Passo 8
Voltando aos limites de integração de 0 a 2: