Calcule a integral dupla, invertendo a ordem de integração:
integral0^1 integral2 x^2 e^y^2 d y d x
Resp. 1 / 4(e^4-1)

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma integral dupla:
integral0^1 integral2x^2 e^y^2 , dy , dx
Estamos trabalhando com integração em duas variáveis, e . A matéria envolvida é cálculo integral, mais especificamente integração dupla. Para resolver, vamos precisar inverter a ordem de integração, ou seja, integrar primeiro em relação a e depois em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a área de integração. Originalmente, varia de 0 a 1 e, para cada , varia de a 2. Isso significa que a região de integração está entre a linha e , para entre 0 e 1.

Passo 3

Para inverter a ordem de integração, precisamos reescrever os limites de integração. Vamos fixar e ver como varia para cada valor de . Observando a linha , podemos resolver para : .

Passo 4

Agora, determinamos os novos limites:
  • integral0^2 integral0^y2 e^y^2 , dx , dy varia de 0 a 2.
  • Para cada , varia de 0 a .
Então, a integral invertida fica:

Passo 5

Vamos resolver a integral interna, que é em relação a integral0^y2 e^y^2 , dx :
e^y^2 integral0^y2 dx = e^y^2 [ x ]0^y2 = e^y^2 cdot y2
Como não depende de , podemos tratá-lo como uma constante:

Passo 6

Substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
integral0^2 y2 e^y^2 , dy
Podemos tirar o fator 12 integral0^2 y e^y^2 , dy da integral:

Passo 7

Para resolver 12 integral e^u , du = 12 e^u + C = 12 e^y^2 + C , usamos uma substituição simples. Seja , então ou . A integral fica:

Passo 8

Voltando aos limites de integração de 0 a 2:
12 [ 12 e^y^2 ]0^2 = 14 ( e^4 - e^0 ) = 14 ( e^4 - 1 )

Resposta

14 ( e^4 - 1 )

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