Em cada item, determine as derivadas parciais da função f no ponto P. Sugestão. Utilize o exercício anterior.
(a) f(x, y)=x^4 y-2 x^3 y^2, P=(2,-1).

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de
f(x,y)=x^4y-2x^3y^2
no ponto P=(2,-1). Vamos usar as regras básicas de derivação parcial, tratando sempre a outra variável como constante.

Passo 2

Para achar fx(x,y)=partialpartial x(x^4y-2x^3y^2), lembramos que ao derivar em relação a x temos:
partialpartial x(x^4y)=4x^3y
partialpartial x(-2x^3y^2)=-2cdot3x^2y^2=-6x^2y^2
Logo:
fx(x,y)=4x^3y-6x^2y^2

Passo 3

Para achar fy(x,y)=partialpartial y(x^4y-2x^3y^2), tratamos x como constante e temos:
partialpartial y(x^4y)=x^4
partialpartial y(-2x^3y^2)=-2x^3cdot2y=-4x^3y
Logo:
fy(x,y)=x^4-4x^3y

Passo 4

Agora avaliamos em P=(2,-1):
fx(2,-1)=4cdot2^3cdot(-1)-6cdot2^2cdot(-1)^2=4cdot8cdot(-1)-6cdot4cdot1=-32-24=-56
fy(2,-1)=2^4-4cdot2^3cdot(-1)=16-4cdot8cdot(-1)=16+32=48

Resposta

fx(2,-1)=-56 e fy(2,-1)=48

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